Untervektorräume, direkte Summe.

17.01.2017, 16:46	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume, direkte Summe. Hi, Gegeben ist ein Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U:=\{A \in M_n(K) \mid tr(A) =0\} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist ein Untervektorraum $\begin{eqnarray} V \subset M_n(K) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} U \oplus V = M_n(K) \end{eqnarray}$ . Das einzige, das ich bis jetzt erkannt habe, ist, dass $\begin{eqnarray} \forall A \in V \setminus \{0\} : tr(A) \neq 0 \end{eqnarray}$ gelten muss, denn sonst wäre ja $\begin{eqnarray} V \cap U \neq \{0\} \end{eqnarray}$ . Ich scheitere allerdings daran, aus dieser Information einen Vektorraum zu basteln (diese Forderung alleine genügt auch nicht, denn es ist möglich zwei quadratische Matrizen $\begin{eqnarray} A,B \in M_n(K), tr(A) \neq 0 \neq tr(B) \end{eqnarray}$ zu finden, sodass $\begin{eqnarray} tr(A+B) = 0 \end{eqnarray}$ ) Ich interessiere mich dabei mehr für die richtige Vorgehensweise, als für die "Musterlösung" der Aufgabe, wäre also für jeden Tipp dankbar. Abschließend möchte ich bemerken, dass mein Professor gelegentlich unübliche Bezeichnungen wählt, sollte etwas unklar sein, bessere ich es gerne aus. Danke im Voraus.
17.01.2017, 17:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume, direkte Summe. Überlege dir mal wie groß die Dimension von $\begin{eqnarray} M_n(K) \end{eqnarray}$ und von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist. Dann merkst du, dass $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ sehr klein sein muss.
17.01.2017, 18:01	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume, direkte Summe. Ok, das ist eine gute Überlegung, danke! Es sollte ja $\begin{eqnarray} \dim M_n(K) = n^2 , \dim U = n^2 - n \end{eqnarray}$ gelten. Mit der Dimensionsformel und $\begin{eqnarray} \dim (U \cap V) = 0 \end{eqnarray}$ folgt also $\begin{eqnarray} \dim V = n \end{eqnarray}$ . Ich sehe leider (noch) nicht, wie ich damit der expliziten Angabe von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ näher komme, aber es hilft ein wenig bei der Anschauung.
17.01.2017, 18:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume, direkte Summe. U ist viel größer, und damit V viel kleiner.
17.01.2017, 18:32	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume, direkte Summe. Oh, ja. $\begin{eqnarray} \dim U = n^2 -1 \Rightarrow \dim V = 1 \end{eqnarray}$ , korrekt? Ich habe mir das jetzt in $\begin{eqnarray} M_2 (K), M_3 (K) \end{eqnarray}$ vorgestellt, wie beweise ich $\begin{eqnarray} \dim U = n^2 -1 \end{eqnarray}$ sauber? Ist der Basisvektor von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix? Das würde auf $\begin{eqnarray} M_2 (K), M_3(K) \end{eqnarray}$ auch funktionieren.
17.01.2017, 18:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume, direkte Summe. Das stimmt. Und jede Matrix mit nicht-verschwindeter Spur spannt ebenfalls ein Komplement von U auf.
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17.01.2017, 19:02	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume, direkte Summe. Alles klar, danke Dir!

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