Fluss eines Vektorfeldes

17.01.2017, 23:35	student1927	Auf diesen Beitrag antworten »
Fluss eines Vektorfeldes Hallo, ich habe ein Vektorfeld F(x,y,z)=(x^3+xy^2,yx^2+y^3,yx^2) gegeben und gesucht ist der Fluss durch die Fläche z=sqrt(x^2+y^2)<2. Habe als erstes die Divergenz ausgerechnet: 4x^2+4y^2 komme an der stelle nicht mehr weiter Danke schonmal und viele Grüße
18.01.2017, 01:00	student1927	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fluss eines Vektorfeldes bitte, brauche dringend hilfe
18.01.2017, 01:11	student1927	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fluss eines Vektorfeldes ich vermute mal z ist eine kegel, wenn das so ist was bedeutet dann dieses <2 was ist dan radius vom kreis?
18.01.2017, 12:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du richtig schreibst, lautet die Divergenz der Flussdichte $\begin{eqnarray} div(\vec F)=div\begin{pmatrix} x^3+xy^2 \\ yx^2+y^3 \\ yx^2 \end{pmatrix} =4x^2+4y^2 \end{eqnarray}$ Die Fläche $\begin{eqnarray} z=\sqrt{x^2+y^2}<2 \end{eqnarray}$ ist die Mantelfläche eines nach oben geöffneten Kegels (ohne "Deckel"). Das ist keine geschlossene Fläche! Der Gaußsche Satz verlangt aber eine geschlossene Fläche. Folglich lautet der Gaußsche Satz in diesem Falle $\begin{eqnarray} \underbrace{\int div (\vec F)\,\,dV}_{\text{Volumenintegral}}=\underbrace{\int \vec F\,\,dA}_{\text{Mantelfläche}}+\underbrace{\int \vec F\,\,dA}_{\text{Deckel}} \end{eqnarray}$ Gesucht ist nur das Oberflächenintegral über die Mantelfläche, also $\begin{eqnarray} \underbrace{\int \vec F\,\,dA}_{\text{Mantelfläche}}=\underbrace{\int div (\vec F)\,\,dV}_{\text{Volumenintegral}}-\underbrace{\int \vec F\,\,d \vec A}_{\text{Deckel}} \end{eqnarray}$ In Zylinderkoordinaten hat man also $\begin{eqnarray} \underbrace{\int \vec F\,\,dA}_{\text{Mantelfläche}}=\underbrace{\int_{z=0}^2\int_{r=0}^z\int_{\phi=0}^{2\pi} \overbrace{4r^2}^{4\cdot (x^2+y^2)}\cdot \overbrace{r\,\,d\phi dr dz}^{dV}}_{\text{Volumenintegral}}-\underbrace{\int_{r=0}^2\int_{\phi=0}^{2\pi} \overbrace{\begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ r^3\cos^2(\phi)\sin(\phi) \end{pmatrix}}^{\vec F} \cdot \overbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot r\,\,dr d \phi}^{d\vec A}}_{\text{Deckel}} \end{eqnarray}$ Da der "Deckel" eine zur xy-Ebene parallele Kreisfläche ist, zeigt das Flächenelement des Deckels in z-Richtung. Somit wird das Skalarprodukt im Integranden des 2.Integrals sehr einfach, weil die Komponeneten $\begin{eqnarray} F_1, F_2 \end{eqnarray}$ entfallen. Rechne beide Integrale mal aus und bilde die Differenz!
20.01.2017, 18:01	student1927	Auf diesen Beitrag antworten »
ich danke dir ))

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