Orthogonalbasis

18.01.2017, 21:01

Thon

Orthogonalbasis

Sei:

$\begin{eqnarray*} B: = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,2} \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} <.,.>_B: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} , <\vec{x}, \vec{y}>_{B} = \vec{x}^{T} B\vec{y} \end{align*}$

$\begin{align*} B= \{\vec{b_1}:=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{b_2}:=\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}\} \end{align*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{align*} B \end{align*}$ bezüglich $\begin{align*} <.,.>_B \end{align*}$ eine Orthonormalbasis ist.

Idee:

Eine Orthogonalbasis wird dadurch charakterisiert, dass die Basiselemente die Norm eins haben. Und dass Skalarprodukt der Basiselemente muss null sein.
Was mich allerdings irritiert, ist diese Angabe:

Zitat:

bezüglich $\begin{align*} <.,.>_B \end{align*}$ eine Orthonormalbasis ist.

Bezüglich eines bestimmten Skalarproduktes.

Danke smile

18.01.2017, 22:19

Helferlein

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Und was irritiert Dich daran? Du hast doch selbst geschrieben, dass das Skalarprodukt zweier verschiedener Vektoren der Basis Null sein muss und die Norm jedes einzelnen eins. Beide Größen hängen also von der Wahl des Skalarproduktes ab.

Du hast es hier eben mal nicht mit dem euklidischen Skalarprodukt zu tun, sondern einem anderen. Wie Du an der Darstellung sehen kannst, gibt es noch sehr viele andere Arten ein Skalarprodukt zu definieren, nämlich in Abhängigkeit einer symetrischen, positiv definiten Matrix.

18.01.2017, 22:42

Thon

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Sorry ich zeig mal was ich bisher hab.

B ist ONB bzgl. $\begin{align*} <.-.>_B \end{align*}$ , wenn

i) $\begin{align*} <\vec{b_1},\vec{b_2}>_{B} =\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}}< \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}>_{B} =\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}} < \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}>_{B} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0 \end{align*}$

ii) Die Norm des Vektors muss eins sein.

So wie kann ich diese Bedingung überprüfen? Danke schonmal.

18.01.2017, 23:48

Thon

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Habs doch noch alleine hinbekommen smile

Trotzdem danke für die Hilfe.

19.01.2017, 00:19

Helferlein

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Für den geneigten Leser: Es ist $\begin{align*} ||b_k||=<b_k,b_k>_B=b_k^TBb_k=1 \end{align*}$ nachzuweisen.

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