Bedingter Erwartungswert Exponentialverteilung

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lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingter Erwartungswert Exponentialverteilung
Meine Frage:
Folgende Aufgabe, die ich lösen will:

Seien X1,X2 unabhängige Exponentialverteilte ZV.
Berechnen Sie E[min(X1,X2)| X1].


Meine Ideen:
Hört sich auf den ersten Blick ganz leicht an, allerdings habe ich absolut keine Ahnung vom bedingten Erwartungswert. Ich vermute mal, dass man die Formel nochmal umschreiben kann, da die ZV unabhängig sind.
Vielleicht könnte mir das jemand erklären und vorrechnen, da ich noch andere solche Aufgaben habe, die ich als Übung gerne rechnen würde.

Liebe Grüße und schönen Dank,
Lissy
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lissy1234567
Berechnen Sie E[X1 ? X2 | X1].

112 Beiträge im Matheboard, und immer noch einen solchen Copy+Paste-Unfug verzapfen. unglücklich
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Habs korrigiert, war wohl ein Flüchtigkeitsfehler smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die bedingte Erwartung bzgl. einer Sigma-Algebra ist per Definition eine -messbare Zufallsgröße. Ist , d.h., die kleinste Sigma-Algebra bzgl. der messbar ist, so bezeichnet man das ja auch kurz als , und in diesem Fall bedeutet die Messbarkeit, dass es eine deterministische Funktion gibt mit , die berechnet werden kann über . *)

Im vorliegenden Fall bedeutet das ein zu bestimmen mit

,

letzteres weil ja unabhängig sind, mithin auch unabhängig sind für eine beliebige messbare Funktion (und die lautet hier ). Bleibt also noch für fest vorgegebenes auszurechnen - kriegst du das hin?



*) Vielleicht langweile ich dich mit dieser langen Vorrede, aber erfahrungsgemäß bestehen gerade bei bedingter Erwartung am Anfang erhebliche Unsicherheiten, und du hast ja entsprechende Zeichen von dir gegeben.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal hat mir deine Rede nach Überlegen viel geholfen, also vom Verständnis her. Mir ist jetzt klar, warum nur mehr das Endresultat auszurechnen bleibt...ich glaube allerdings nicht, dass ich das hinbekomme verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erwartungswert der Funktion einer absolutstetigen Zufallsgröße bestimmt sich gemäß , wobei die Dichte von ist. Bei der Exponentialverteilung können wir das Intervall natürlich auf einschränken. Für gilt damit und unter Berücksichtigung des vorausgesetzten dann

.

Soweit erstmal klar? Im ersten Teilintervall ist nämlich , im zweiten hingegen , das ist ja überhaupt der Grund für eine derartige Aufteilung des Integrationsintervalls. Der Rest ist eine reine Integrationsübung, die solltest du aber allein bewältigen können.
 
 
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Rest bekomm ich natürlich hin, danke smile
Verstehe aber nicht, warum im ersten Intervall [0,z] das Minimum x ist ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lissy1234567
Verstehe aber nicht, warum im ersten Intervall [0,z] das Minimum x ist ?

x stammt aus dem Intervall [0,z]. Du verstehst wirklich nicht, dass x dann die kleinere der beiden Zahlen x und z ist? Erstaunt1
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhh!! Um Gottes Willen, ist ja wohl klar. Stand ja mal sowas von auf dem Schlauch, oh gott Big Laugh
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