Für welche c exisitiert das uneigentliche Integral?

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Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche c exisitiert das uneigentliche Integral?
Hallo,

kann mir jemand mit folgender Aufgabe helfen:

Für welche c exisitiert das uneigentliche Integral:

Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Ich würde das Integral in 2 Teilintegrale aufspalten, nämlich in

Hier kann man jetzt, indem man eine Fallunterscheidung für c macht, die Konvergenz der beiden Integrale relativ gut durch Abschätzung zeigen bzw widerlegen.
Die Details habe ich noch nicht ausgearbeitet, aber ich denke, so müsste man zum Ziel kommen.
Vielleicht hilft dir das ja schon weiter, ich denke aber mal noch drüber nach.
Gruß
Philipp
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Klammersetzung gilt?
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

(1+x)²
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, da habe ich mich wohl verlesen.
Die Methode dürfte aber die gleiche bleiben, ich habe es vorhin mal mit der falschen Klammersetzung durchgerechnet und da konnte man alle Fälle mit den Vergleichskriterien und dem Grenzwertkriterium locker bearbeiten. Ich denke, man kommt damit immernoch zum Ziel, es ändert sich ja nicht großartig etwas.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und mit komplexer Analysis läßt sich für die zulässigen c sogar der Wert des Integrals berechnen:

 
 
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal euch beiden.

Zitat:
Original von Philipp-ER
Ups, da habe ich mich wohl verlesen.
Die Methode dürfte aber die gleiche bleiben, ich habe es vorhin mal mit der falschen Klammersetzung durchgerechnet und da konnte man alle Fälle mit den Vergleichskriterien und dem Grenzwertkriterium locker bearbeiten. Ich denke, man kommt damit immernoch zum Ziel, es ändert sich ja nicht großartig etwas.


kannst mir dazu etwas genaueres sagen? ich habe das auch probiert, bevor ich hier gepostet habe, bin aber auf nichts sinnvolles gekommen...


Zitat:
Original von Leopold
Und mit komplexer Analysis läßt sich für die zulässigen c sogar der Wert des Integrals berechnen:



für c=0 existiert das integral mit aber deine lösung ist nicht definiert verwirrt
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

obwohl ich heute schon geantwortet hatte, wird die ganze zeit gestern als neuste antwort angezeigt. daher schreib ich nochmal was rein *push*
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für c=0 ist die rechte Seite stetig ergänzbar mit Wert 1.
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für c=0 ist die rechte Seite stetig ergänzbar mit Wert 1.


was heißt das?? und warum reicht es aus, dass nur die rechte seite stetig ergänzbar ist?

[edit]ah... mit rechte seite war rechte seite der gleichung gemeint... :P[/edit]
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Das heisst, dass die Funktion an der Stelle 1 eine Lücke hat. Der Grenzwert von beiden Seiten ist aber 1, d.h. definiert man einfach den Funktionswert einfach als 1 an dieser Stelle, so erhält man eine stetige Funktion.

Gruß vom Ben

edit: Nur die rechte Seite ist ja an der Stelle c=1 nicht definiert, die linke Seite, wie du ja auch schon bemerkt hast, schon.
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Das heisst, dass die Funktion an der Stelle 1 eine Lücke hat. Der Grenzwert von beiden Seiten ist aber 1, d.h. definiert man einfach den Funktionswert einfach als 1 an dieser Stelle, so erhält man eine stetige Funktion.

ah ja... danke... gut zu wissen.
mit dem integral bin ich leider immernoch nicht weiter gekommen. da werd ich am freitag mal meinen tutor fragen...
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wie gesagt, es ist ratsam, das Integral in 2 Teilintegrale aufzuspalten und diese dann getrennt auf Konvergenz zu untersuchen.


Das Verhalten des 1. Integrals lässt sich ganz einfach mit dem Vergleichskriterium untersuchen.
Dieses ist offensichtlich nur an der unteren Grenze uneigentlich und es gilt:

und damit hat das 1. Integral das gleiche Konvergenzverhalten wie

was ja sehr einfach zu behandeln sein dürfte.

Für gilt folgende Abschätzung (beachte ):


und ich nehme an, dass bekannt ist, dass

konvergiert (man kann ja sogar eine Stammfunktion angeben), womit die Existenz des 2. Integrals nach dem Majorantenkriterium für gesichert ist.

Entsprechend musst du jetzt versuchen, den Fall c<0 zu lösen, vielleicht bedarf es einer weiteren Fallunterscheidung (du kannst dir die Untersuchung des Falles für c<0, in denen das 1. Integral divergiert, sparen, da in diesem Fall sowieso das gesamte Integral divergiert).

Ich hoffe, du schaffst den Rest alleine.
Gruß
Philipp

Edit:
Mist, jetzt habe ich das Integral aus meiner 1. Nachricht kopiert, da ich zu faul war, es nochmal zu tippen und jetzt habe ich dummerweise wieder die falsche Klammersetzung verwendet.
Naja, das ändert absolut nichts, denn auch

existiert, damit kann man weiterhin das Majorantenkriterium anwenden und auch der Grenzwert bei der Untersuchung des 1. Integrals ist weiterhin 1, so dass auch hier das Vergleichskriterium genauso anwendbar ist.
Sorry für den blöden Fehler, aber ich korrigiere jetzt nicht alles in der Nachricht hier, das dürfte unnötig sein.
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

danke nochmal.

Zitat:
Original von Philipp-ER
Das Verhalten des 1. Integrals lässt sich ganz einfach mit dem Vergleichskriterium untersuchen.
Dieses ist offensichtlich nur an der unteren Grenze uneigentlich und es gilt:

und damit hat das 1. Integral das gleiche Konvergenzverhalten wie

was ja sehr einfach zu behandeln sein dürfte.

wie lautet denn das von dir verwendete vergleichskriterium? bei uns wurde nur ein vergleichskriterium eingeführt, das besagt:





und das scheint mir bei einem integral zwischen 0 und 1 nicht wirklich zu helfen.

gruß
Flapjack
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt für :



Zum Beweis substituiere x=1/t.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Vergleichskriterium meinte ich das Grenzwertkriterium, dieses besagt für ein bei 0 uneigentliches Integral:

Sind f und g positiv auf (0,a] und strebt f(x)/g(x) für gegen einen POSITIVEN Grenzwert, so haben die Integrale
und dasselbe Konvergenzverhalten. Strebt , so kann man immerhin aus der Konvergenz des zweiten Integrals die des ersten folgern.

Genau das habe ich angewendet.
Ist dir dieses Kriterum nicht bekannt?
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

ne, das kenn ich nicht... hab auch grad nochmal im skript geschaut und nichts derartiges gefunden...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für kannst du abschätzen:



denn ein Bruch aus positiven Größen wird größer, wenn man den Nenner verkleinert, und es ist ja (1+x)²>1.


Für kannst du abschätzen:



Begründung wie oben. Dieses Mal haben wir durch den kleinstmöglichen Wert nach unten abgeschätzt.

Und die Integrale



konvergieren . Man kann ja sogar ihre Werte berechnen. Damit sind Majoranten gefunden.
Und wie du den Fall auf den anderen zurückspielen kannst, habe ich weiter oben schon erklärt.

(Ich hoffe, daß das so stimmt, denn mit diesen Abschätzungen muß man immer höllisch aufpassen, daß man "in die richtige Richtung denkt".)
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

So, vielen Dank nochmal...
Es sind nun fast alle Unklarheiten beseitigt. Nur um nochmal sicher zu gehen: Das Integral existiert für



richtig?

Eine Sache bleibt noch offen: Ich schaffe es einfach nicht zu zeigen, dass (für c=1)



nicht existiert.

Gruß Flapjack
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest die Partialbruchzerlegung



bestimmen. Das Integral von 0 bis 1 über den zweiten Bruch ist harmlos, es ist ja nicht einmal uneigentlich. Aber das Integral über den ersten Bruch!
Flapjack Auf diesen Beitrag antworten »

jaaa! prima!!! vielen dank Tanzen
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