Kathetensatz für Sichtlängeberechnung

22.01.2017, 21:15

Shalec

Kathetensatz für Sichtlängeberechnung

Hallo Allerseits,

ich habe ein Aufgabenblatt von 91 gefunden und habe diese Aufgabe mal auf viele verschiedene Arten versucht zu lösen. Die einzige Form, für die ich noch keine Lösung gefunden haben, ist mit dem Kathetensatz. Die Aufgabe ist recht simpel:

Angenommen wir stehen irgendwo auf der Erde und haben eine Augenhöhe von h. Den Radius der Erde nehmen wir r=6370km an. Wie "weit" kann ich dann gucken?

Dazu nun die Vorbetrachtungen im Anhang. Wie lässt sich der Kathetensatz anwenden, um L zu berechnen? Ich sehe leider nicht, wie ich das Dreieck einzeichnen könnte.

22.01.2017, 21:48

HAL 9000

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Es ist weniger Kathetensatz, sondern viel mehr Pythagoras:

$\begin{align*} L^2 = (r+h)^2-r^2 = 2rh + h^2 \end{align*}$

Wegen $\begin{align*} h\ll r \end{align*}$ reicht i.d.R. auch Näherung $\begin{align*} L^2 \approx 2rh \end{align*}$ . Wird gern bei Leuchtturmaufgaben u.ä. verwendet.

23.01.2017, 09:19

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist weniger Kathetensatz, sondern viel mehr Pythagoras:

$\begin{align*} L^2 = (r+h)^2-r^2 = 2rh + h^2 \end{align*}$

Wegen $\begin{align*} h\ll r \end{align*}$ reicht i.d.R. auch Näherung $\begin{align*} L^2 \approx 2rh \end{align*}$ . Wird gern bei Leuchtturmaufgaben u.ä. verwendet.

Hey,
also ich habe die Aufgabe mit dem Satz des Pythagoras, Höhensatz von Euklid und noch einem anderen gelöst. Mir fehlt noch eine Lösung nach dem Kathetensatz. Der Autor hat explizit geschrieben, dass dieser ebenfalls zur Lösung beitragen soll. Als Ergebnis liefert er $\begin{eqnarray*} L^2 = h(2r+h) \end{eqnarray*}$ und verweist auf einen Halbkreisdurchmesser von 2r+h.

25.01.2017, 16:24

Shalec

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Hey,
ich habe nun eine Lösung erfunden/gefunden.. (also selber konstruiert)

1) Dazu geht legt man auf der Geraden(A,B) einen Punkt mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} X=(x_A, y_A+\frac{h}{2}) \end{eqnarray*}$ an. In diesem Punkt wird nun ein Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} r+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ gezeichnet. Dieser Kreis und der Kreis mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r+h \end{eqnarray*}$ schneiden sich in einer Geraden mit den Punkten A und B. Dieser Punkt sei einfach Z.

2) Nun wird ein Kreis im Punkt B mit dem Radius |BC| gezeichnet. Damit entspricht der Radius des Kreises der gesuchten Länge. Dieser Punkt hat einen (tatsächlich 2..aber einer interessiert uns nur) gemeinsamen Schnittpunkt mit dem Kreis aus 1). Dieser Punkt sei nun Y.

3.) Nun lässt sich das Dreieck BZY zeichnen. Der Winkel im Punkt Y beträgt 90°, da B und Z die Randpunkte des Durchmessers des Kreises aus 1) sind und Y auf einem Halbkreis liegt.

4.) Der Kathetensatz lässt sich nun anwenden und Liefert als Ergebnis: $\begin{eqnarray*} L^2 = h\cdot (h+2r) \end{eqnarray*}$

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