Normalenvektor bestimmen

22.01.2017, 22:29

DerMaschbaustudent

Normalenvektor bestimmen

Ich habe eine Ebene in Parameterform vorliegen:

Diese lautet:
$\begin{eqnarray*} (3/-1/0)+r*(-1/-5/1)+t*(-1/0/4) \end{eqnarray*}$

Aus dieser Form soll die Ebene in die Hesseche Normalenform überführt werden:

$\begin{eqnarray*} (nx/ny/nz)*((r-(3/-1/0))=0 \end{eqnarray*}$

Der Normalenvektor ist ja das Vektorprodukt der Richtungsvektoren.

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} n= (-20/3/-5) \end{eqnarray*}$

Jedoch soll der Vektor n so gewählt werden, dass das Skalarprodukt des
Normalenvektors und des Aufpunktes (nx/ny/nz)*(3/-1/0)>0 ist, damit der Normalenvektor vom Ursprung in Richtung der Ebene zeigt.

Jedoch komme ich bei der Skalarmultiplikation auf einen Wert von -63.

Was habe ich falsch gemacht??

23.01.2017, 02:13

Dopap

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die normierte Skalarprodukt-Normalenform-ohne-Anfangspunkt ist

$\begin{eqnarray*} E: \vec n \cdot \vec x - k=0 \end{eqnarray*}$

das Minus muss sein, evtl. mit -1 durchmultiplizeren!

Dann "zeigt" der Normalenvektor in Richtung Ebene.

und vergiss nicht bei der Parameterform die Zuordnung

$\begin{eqnarray*} \vec x := \vec a +\lambda \vec u +\mu \vec v \quad \lambda,\mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Auch als Maschinenbauer.

23.01.2017, 02:40

DerMaschbaustudent

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Danke für deine Antwort zu dieser späten Stunde.

Meinst du, dass man die Normalenform mit -1 durchmultiplizieren soll oder nur das Skalarprodukt.

Wenn man nur das Skalarprodukt mit -1 multipliziert, wäre es dann ja.
(-20/3/-5)*(3/-1/0)*(-1)=63 und somit wären ja alle bedingungen erfüllt!?

MfG,

DerMaschbaustudent

@Dopap

hat den Definitoinsbereich von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht dazu geschrieben, da ich mich noch ein bisschen mit der Schreibweise in LaTex auseinandersetzen muss.

23.01.2017, 03:48

Dopap

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Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
Danke für deine Antwort zu dieser späten Stunde.

Meinst du, dass man die Normalenform mit -1 durchmultiplizieren soll oder nur das Skalarprodukt.
[...]

Letzteres widerspricht dem Sinn einer Gleichung, aber hier ist es so, dass es nur auf einen senkrechten Normalenvektor ankommt.

Dessen Länge/Betrag darfst du aber nicht auf diese Weise ändern.

23.01.2017, 04:02

DerMaschbaustudent

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Bei einer Multiplikation des Normalenvektors mit -1 würde ich ja einfach den Vektor von seinem Uhrsprung her spiegeln um 180°. Also das er von der "Rückseite" der Ebene anfängt sozusagen.

Die Länge/Betrag des Skalars würde dann ja zu 63 ändern.

23.01.2017, 05:17

Dopap

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RE: Normalenvektor bestimmen
deine Sprachwahl gefällt mir nicht. Ein Vektor fängt nirgends an und schon gar nicht bei einer Ebene . Aber jetzt nochmals Klartext.

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent

Der Normalenvektor ist ja das Vektorprodukt der Richtungsvektoren.

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} n= (-20/3/-5) \end{eqnarray*}$

und wenn dann kein Minus bei ... k=0 steht, dann nimm eben

$\begin{eqnarray*} \vec n =\begin{pmatrix} 20 \\ -3\\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Normalenvektor. Dann entsteht das Minus vor k. Das alles kann man aber zusammenfassen mit:

Multipliziere die Ebenengleichung mit -1.

Punkt fertig.

23.01.2017, 13:16

DerMaschbaustudent

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Danke schön für deine Hilfe.

Ich habe es so gelernt, dass der Normalenvektor (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren) senkrecht auf der Ebene steht.
Das meinte ich mit "Ursprung auf der Ebene".

Wenn ich dann mit -1 multiplizieren, wäre der Punkt des Normalenvektor auf der anderen "Ebenenseite".

23.01.2017, 14:23

mYthos

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Die Koordinatenform der Ebenengleichung resultiert aus der Normalvektorgleichung der Ebene.
Diese lautet

$\begin{eqnarray*} \vec n \cdot (\vec X - \vec a) = 0; \quad \vec a \text{ Ortsvektor zu einem Stützpunkt der Ebene}; \ \vec n \text{ Normalvektor}; \ \vec X \text{ Ortsvektor zu allg. Punkt der Ebene} \end{eqnarray*}$

Nach der skalaren Multiplikation folgt

$\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec X - \vec n \cdot \vec a = 0 \end{eqnarray*}$

Daher kommt das Minus und dieses MUSS infolge der Vektorbeziehungen dort stehen, solange es sich um eine Vektorgleichung handelt.
Führen wir diese weiter aus, gelangen wir letzendlich zur Koordinatenform

$\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec X = \vec n \cdot \vec a \end{eqnarray*}$

Rechts steht ein Skalar, dieser wird oft c oder wie hier eben k benannt. Er kann dann - je nach den gegebenen Vektoren - positiv oder negativ werden.

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_1x_1 + n_2x_2 + n_2x_3 = c \end{eqnarray*}$

Diese Koordinatenform ist eine ganz normale Gleichung, die beidseits natürlich multipliziert werden kann. Multipliziert man jetzt die Gleichung beidseits mit (-1), ändert das nichts an der Ebene.

$\begin{eqnarray*} - n_1x_1 - n_2x_2 - n_2x_3 = -c \end{eqnarray*}$

Der Normalvektor ist nun entgegengesetzt orientiert, deswegen hat in diesem Fall auch der Skalar sein Vorzeichen geändert.

mY+

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