Rechnen mit Matrizen

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23.01.2017, 10:50	aisthesis	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit Matrizen Meine Frage: Hallo zusammen, ich komme bei einer Übungsaufgabe fürs Studium leider nicht weiter Leider habe ich keine Ahnung, wie ich die Regeln für das Rechnen mit Matrizen hier anwenden kann. Die Aufgabe: A,B seien reelle, invertierbare n × n Matrizen und E bezeichne die n × n Einheitsmatrix. Zeigen Sie: Existiert $\begin{eqnarray} (A^TA+B^-1)^-1 \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} (E+ABA^T)^-1 = E-A(A^TA+B^-1)^-1A^T \end{eqnarray}$ Vielen Dank!!! Meine Ideen: Ein erster Gedanke wäre es, den Term (ATA+B?1) als Matrix C aufzufassen für die gilt CC?1=E
23.01.2017, 11:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Matrizen Definiere lieber $\begin{eqnarray} C:= (E + ABA^T) \end{eqnarray}$ als Matrix. Dann musst du nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} C \cdot ( E - A( A^T + B^{-1})^{-1}A^T) = E \end{eqnarray}$ gilt. Das ist die charakterisierende Eigenschaft der Inversen, und das (eindeutige) Element mit der Eigenschaft verdient den Namen $\begin{eqnarray} (E+ ABA^T)^{-1} \end{eqnarray}$ .
23.01.2017, 12:10	aisthesis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Matrizen Vielen Dank für die Antwort! Das ist nachvollziehbar $\begin{eqnarray} (E+ABA^{T}) \cdot (E-A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T) = E \end{eqnarray}$ Kann ich dann im nächsten Schritt via Distributivgesetz die Terme in den Klammern ausmultiplizieren und anschließend vereinfachen?
23.01.2017, 12:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Matrizen Das wäre die Strategie. Ich würde es bloss ohne das $\begin{eqnarray} = E \end{eqnarray}$ aufschreiben, weil das zwar das Ziel ist, man es aber noch nicht weiß. Also starte mit Links und rechne einfach wie du beschrieben hast drauf los, und versuche am Ende einfach auf E zu kommen. So ist es nicht falsch, aber etwas verwirrend.
23.01.2017, 12:58	aisthesis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Matrizen Ist es erforderlich auf E zu kommen oder reicht es naiverweise auch, zu zeigen, das die Terme sich durch Ausmultiplizieren und Ausklammern auch verkehrt herum darstellen lassen. Statt $\begin{eqnarray} C \cdot C^{-1} \end{eqnarray}$ eben $\begin{eqnarray} C^{-1} \cdot C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (E+ABA^{T}) \cdot (E-A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =E^{2} - EA(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T) + ABA^TE - ABA^TA(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =E - A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T) + ABA^T(E - A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (E-A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T) \cdot (E+ABA^{T}) \end{eqnarray}$ Damit wäre die Gleichung ja erfüllt. Danke!
23.01.2017, 13:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Matrizen Kommutieren ist nicht gut genug. So kommutiert $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ mit allen Matrizen, aber deswegen ist es noch lange nicht. das Inverse von C. Diagonalmatrizen kommutieren auch alle miteinander usw.. Es ist also wirklich notwendig auf E zu kommen. Edit: In der zweiten Zeile hast du $\begin{eqnarray} E^{2} - EA(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T) + ABA^TE - ABA^TA(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T \end{eqnarray}$ . Bemerke, dass $\begin{eqnarray} A^T A = (A^T A + B^{-1}) - B^{-1} \end{eqnarray}$ . Damit ist der letzte Term $\begin{eqnarray} ABA^TA(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T = AB ( A^TA + B^{-1})(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T - ABB^{-1}(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T \end{eqnarray}$ .
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23.01.2017, 14:02	aisthesis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Matrizen Vielen Dank für die Bemühungen! Mithilfe deines Tipps bzgl. des letzten Termes gehe ich dann wie folgendermaßen weiter: $\begin{eqnarray} =E^{2} - EA(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T + ABA^TE - ABA^TA(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =E^{2} - EA(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T + ABA^TE - AB ( A^TA + B^{-1})(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T - ABB^{-1}(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =E - A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T + ABA^TE - AB E A^T - ABB^{-1}(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =E - A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T - AE(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =E - A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T - A(A^TA+B^{-1})^{-1}A^T \end{eqnarray}$ Sieht nach dem richtigen Weg aus
23.01.2017, 14:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Matrizen Du hast direkt einen Vorzeichenfehler gemacht. Der letzte Term müsste ein $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ haben (Minus und Minus ergeben nun einmal dies.) Damit kürzen sich am Ende die beiden letzten Terme weg, und es bleibt genau das übrig was du haben wolltest.
23.01.2017, 14:25	aisthesis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Matrizen Ausgezeichnet! Danke

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