Primrestklasse und ihr Erzeuger

23.01.2017, 15:54

Krisssssiii

Primrestklasse und ihr Erzeuger

Meine Frage:
Hallo,
ich habe zwei Frage bgzl. zwei Matheaufgaben, die alle ein ähnliches Thema behandeln.
Erstens:
1)Ich soll für die Gruppe ((Z/7)-{0},*) bestimmen, ob diese zyklisch ist?
2) Soll ich schauen, ob ((Z/6)-{0},*) eine Gruppe ist?

Meine Ideen:
So nun zu 1):
ich weiß das es wenn die Gruppe zyklisch ist einen Erzeuger gibt. ich weiß auch, dass die Gruppe Z/7 = 1,2,3,4,5,6 besteht.
Habe aber in meinen Vorlesungsaufschrieben auch schon mal 1,2,3,4,5,6,7 gefunden? Meines Verständnisses nach gehört die 7 ja nicht in modulo sieben rein. Ich berechne dann 2^1=2, 2^2=4, 2^3=6 (2+2+2, haben wir in der Vorlesung so aufgeschrieben)...ist kein Erzeuger, für die anderen Zahlen weiter bis zur 5, für die ich dann jedes Elemtent aus der Gruppe erhalte, sprich 5^6. Außerdem teilt die 6 die 6 was also nach Lagrange auch richtig wäre. Stimmt der Weg so?

2) Wenn schauen soll, dass die Restklasse Z/6 keine Gruppe ist muss ich doch die Eigenschaften Assoziativität, Inverses Element und neutrales Element nachschauen. ich habe für Z/6 die Zahlen 1,2,3,4,5 ?
Dann erhalte ich für das Inverse keine Lösung oder weil ich muss doch schauen, welches Element teilerfremd ist und das ist hier ja die 5, weil 5 nicht die Gruppenordnung 6 teilt. und für die 5 erhalte ich kein Ergebnis. Also wäre Z/6 -{0} keine Gruppe.

Wär lieb wenn ihr mir helfen könnten und mir sagt, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Lg
Krisi

23.01.2017, 17:38

Shalec

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RE: Primrestklasse und ihr Erzeuger
Hallo Wink

Zitat:

Original von Krisssssiii
Meine Ideen:
So nun zu 1):
ich weiß das es wenn die Gruppe zyklisch ist einen Erzeuger gibt. ich weiß auch, dass die Gruppe Z/7 = 1,2,3,4,5,6 besteht.

Das ist korrekt, insofern du $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/7, \cdot) \end{eqnarray*}$ als multiplikative Gruppe auffasst. Betrachtest du aber die additive Gruppe, so hast du auch die 0 darin enthalten.

Zitat:

Original von Krisssssiii
Habe aber in meinen Vorlesungsaufschrieben auch schon mal 1,2,3,4,5,6,7 gefunden?

Das lässt sich nur im Kontext mit der additiven Gruppe erklären. Da hier $\begin{eqnarray*} 7=0 \end{eqnarray*}$ identifiziert wird. Anderenfalls ist 7 kein Element der Gruppe. Warum? Magst du mir mal versuchen dies zu erklären? Die Antwort ist recht einfach. Als Hinweis: Was muss die 7 erfüllen, damit es ein Element der multiplikativen Gruppe ist?
Im übrigen Spricht man in diesen Ringen eher von Restklassen, da man hier mehrere Elemente miteinander identifiziert. ( $\begin{eqnarray*} 0=7=14=...=k\cdot 7\ \forall k\in\mathbb Z, 1=k\cdot\mathbb Z+1, ... \end{eqnarray*}$ ) Darum findet man auch häufig alternative Darstellungen, wie z.B. $\begin{eqnarray*} [1]_{\mathbb Z/7}, \overline{1}, ... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Krisssssiii
Ich berechne dann 2^1=2, 2^2=4, 2^3=6 (2+2+2, haben wir in der Vorlesung so aufgeschrieben)

Die Notation passt auch nur, wenn du das "+"-Zeichen definiert hast. Du hast hier aber ein "*" definiert. Daher ist $\begin{eqnarray*} 2^3=2\cdot 2\cdot 2 \end{eqnarray*}$ . Um diese Schreibweise allgemeiner zu halten kann man einfach: $\begin{eqnarray*} (G,\oplus) \end{eqnarray*}$ Gruppe, dann definiere für alle $\begin{eqnarray*} g\in G: g^k:=\underbrace{g\oplus g\oplus ...\oplus g}_{k-fach} \end{eqnarray*}$ So ist die Verwendung der Potenzierung in jeder Gruppenumgebung klar definiert.

Zitat:

Original von Krisssssiii
...ist kein Erzeuger, für die anderen Zahlen weiter bis zur 5, für die ich dann jedes Elemtent aus der Gruppe erhalte, sprich 5^6. Außerdem teilt die 6 die 6 was also nach Lagrange auch richtig wäre. Stimmt der Weg so?

Angesichts des obigen Irrtums, kannst du das nochmal erneut ausprobieren. Für dich zum Verständnis würde ich dir vorschlagen, das mit allen Elementen zu machen (auch Computergestützt natürlich.) Sehr empfehlenswert ist z.B. die Online-Computing-Cloud von Sage https://cloud.sagemath.com/ . Verwendung ist kostenfrei und brauchst keine Software installieren. Wenn du nach Quellcode suchst, hilft "sagemath + keyword" bei google, oder wenn du was programmieren willst, dann kannst du auch in Python reinschauen. Der Code wird fast 1 zu 1 funktionieren. smile

Kleiner Hinweis: Nicht jedes Element ist ein Erzeuger. Versuche dir mal zu erklären, warum dies so gilt.

Zitat:

Original von Krisssssiii
2) Wenn schauen soll, dass die Restklasse Z/6 keine Gruppe ist muss ich doch die Eigenschaften Assoziativität, Inverses Element und neutrales Element nachschauen. ich habe für Z/6 die Zahlen 1,2,3,4,5 ?

Genau. Manchmal ist es Sinnvoll sich erst über die Struktur Gedanken zu machen. Welcher Unterschied besteht zwischen 6 und 7? Augenzwinkern

6 ist keine Primzahl (klar), d.h. es gibt zwei Primteiler $\begin{eqnarray*} 6=2\cdot 3 \end{eqnarray*}$ . (Das sollte auch noch klar sein..) Was bedeutet dies in Hinblick auf die Existenz eines inversen Elements dieser Teiler? smile

Zitat:

Original von Krisssssiii
Dann erhalte ich für das Inverse keine Lösung oder weil ich muss doch schauen, welches Element teilerfremd ist und das ist hier ja die 5, weil 5 nicht die Gruppenordnung 6 teilt. und für die 5 erhalte ich kein Ergebnis. Also wäre Z/6 -{0} keine Gruppe.

So klappt das natürlich auch. Aber 5 sollte invertierbar sein. Welche Zahl ist denn das Inverse? Ich vermute, dass dir evtl. nicht klar ist, welches Element das neutrale Element in dieser Gruppe ist? Notiere doch mal deine Vermutung.

Zitat:

Original von Krisssssiii
Wär lieb wenn ihr mir helfen könnten und mir sagt, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Lg
Krisi

Kein Problem Wink

Edit: Kurzer Nachtrag:
Man nennt diese Elemente nicht Restklasse, weil man mehrere Zahlen miteinander identifiziert, sondern, da die zusammengefassten Zahlen bei einer Division mit dem Modulus den selben Rest hinterlassen. D.h. jede Zahl, die als Vielfaches von dem Modulus N + einem Rest R geschrieben werden kann, wird mit $\begin{eqnarray*} \overline{R} \end{eqnarray*}$ zusammengefasst. Daher sind das auch egtl. Mengen:
$\begin{eqnarray*} \overline{R}=\{ x\in \mathbb Z\ |\ \exists k\in \mathbb Z : x=k\cdot N + R\} \end{eqnarray*}$

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