Unkorreliertheit von Zufallsvariablen

23.01.2017, 18:43	nickname123	Auf diesen Beitrag antworten »
Unkorreliertheit von Zufallsvariablen Meine Frage: hallo ich hab hier eine alte Aufgabe rausgekramt wo ich überhaupt nicht weiterkomme.. Sei X eine gleichverteilte Zufallsvariable auf [?1, 1], d.h. die Verteilung von X besitzt die Dichte $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{2} 1_{[-1,1]} (x) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass dann die durch $\begin{eqnarray} Y_k := sin(k\pi X) \end{eqnarray}$ definierte Folge (Yk)k?N von Zufallsvariablen paarweise unkorreliert ist. (Hinweis: Sie können ohne Beweis folgendes Additionstheorem verwenden: sin(a) sin(b) =1/2(cos(a-b) -cos(a + b)) für alle a, b ? R.) Meine Ideen:* ich hab absolut keine Idee...wäre deshalb für jede Hilfe sehr dankbar
23.01.2017, 19:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Unkorreliertheit ist $\begin{align} \operatorname{cov}[Y_k,Y_j] = 0 \end{align}$ für alle $\begin{align} k\neq j \end{align}$ zu beweisen. Es ist $\begin{align} \operatorname{cov}[Y_k,Y_j] = E[Y_kY_j] - E[Y_k]\cdot E[Y_j] \end{align}$ , daher ist zu berechnen: a) $\begin{align} E[Y_k] = E\left[\sin(k\pi X)\right] \end{align}$ für alle $\begin{align} k \end{align}$ b) $\begin{align} E[Y_kY_j] = E\left[\sin(k\pi X)\sin(j\pi X)\right] \end{align}$ für alle $\begin{align} k\neq j \end{align}$ . Vielleicht weißt du nicht, wie man für eine Zufallsgröße $\begin{align} X \end{align}$ mit Dichte $\begin{align} f \end{align}$ den Erwartungswert $\begin{align} E[g(X)] \end{align}$ bestimmt, für eine gegebene Funktion $\begin{align} g \end{align}$ ? Die Info liefere ich dir als weitere Starthilfe: Es ist $\begin{align} E[g(X)] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) ~ \dd x = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^1 g(x) ~ \dd x \end{align}$ , letzteres, wenn ich schon mal das gegebene $\begin{align} f(x) = \frac{1}{2}\cdot 1_{[-1,1]}(x) \end{align}$ einsetze. Und bei der Berechnung b) wende den Tipp mit dem Additionstheorem an. Ich denke, damit ist der Weg deutlich vorgezeichnet.
23.01.2017, 22:23	nickname123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben dank! das hat ungemein geholfen!

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