Permutations Beweis

25.01.2017, 18:16

tissa

Permutations Beweis

Meine Frage:
Ich soll mit Hilfe von Assoziativität, neutralem und Inversem Element folgendes beweisen:

(a*b)^-1 = a^-1 * b^-1

Pi = a und Sigma = b

Meine Ideen:
meine Fragewie soll ich diesen Beweis angehen. Ich weiß nicht wofür ich in diesem Fall das neutrale oder Inverse Element benötige, besser gesagt ich weiß nicht wie ich es benutzen kann.

25.01.2017, 18:29

Guppi12

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Hallo,

woher sollen denn hier a,b stammen? Welche Struktur liegt zugrunde?

25.01.2017, 18:34

tissa

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a b e Sn

25.01.2017, 19:00

Guppi12

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Wir verständigen uns hier normalerweise schon mit Worten Augenzwinkern

In diesem Fall kannst du die Aussage nicht beweisen, sie ist dann nämlich falsch. Kann es sein, dass du die Aussage stattdessen auf Richtigkeit überprüfen sollst? Oder hast du vielleicht in der Aufgabenstellung eine Kleinigkeit vertauscht?

25.01.2017, 19:08

Shalec

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Ich vermute, dass der TA $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \end{eqnarray*}$ zeigen soll.

Dazu werfe ich direkt einen Hinweis in den Raum: Definiere mal das inverse Elemente für $\begin{eqnarray*} (ab) \end{eqnarray*}$ . Vlt. geht dir dann ein Licht auf, wenn du $\begin{eqnarray*} (ab)=ab \end{eqnarray*}$ siehst.. smile

25.01.2017, 19:08

tissa

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also hier ist der genaue Wortlaut der Aufgabenstellung, vielleicht habe ich ja was missverstanden.

Beweisen Sie nur mit Hilfe der Gruppeneigenschaften (Assoziativität, Neutrales Element, Inverses Element) für (Sn, q), dass für beliebige Permutationen, a,b e Sn gilt:
(a*b)^-1 = a ^-1 * b^-1
Geben Sie genau an, welche der Eigenschaften bei welchem Schritt verwendet wird.

wobei * als Ringoperator dargestellt ist

25.01.2017, 19:14

Guppi12

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Ja, dann ist die Aufgabe fehlerhaft. Du kannst dir überlegen, ob du lieber ein Gegenbeispiel zu deiner Aufgabe suchst, oder stattdessen die Version von shalec beweisen möchtest.

25.01.2017, 19:43

tissa

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habe beim Prof nachgefragt, wir sollen die Version von Shalec beweisen.

aber ist das inverse Element von (ab)^1 nicht (ab)^-1

25.01.2017, 19:49

Guppi12

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Das ging ja schnell Freude

Schau dir mal an, was herauskommt, wenn du das Element $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b^{-1}a^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizierst.

25.01.2017, 20:01

tissa

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a*b*a^-1*b^-1 ist das neutrale Element 1?

25.01.2017, 20:05

Guppi12

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Nein, das hatten wir doch gerade.. auf die Reihenfolge kommt es an, du musst $\begin{eqnarray*} (ab)(b^{-1}a^{-1}) \end{eqnarray*}$ betrachten, nicht $\begin{eqnarray*} (ab)(a^{-1}b^{-1}) \end{eqnarray*}$ , bei letzterem solltest du eigentlich auch nicht auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ kommen.

25.01.2017, 20:11

tissa

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aber kommt durch die assoziativität nicht a*a^-1*b*b^-1 raus

25.01.2017, 20:55

Guppi12

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Wo jetzt, bei $\begin{eqnarray*} (ab)(b^{-1}a^{-1}) \end{eqnarray*}$ oder bei $\begin{eqnarray*} (ab)(a^{-1}b^{-1}) \end{eqnarray*}$ ?

Übrigens sind die Aufgaben so gedacht, dass man, wenn man mehr als 2 Faktoren hat, immer Klammern dazu schreibt, um kenntlich zu machen, welche Verknüpfung zuerst berechnet werden soll. Natürlich ist das aufgrund des Assoziativgesetzes eigentlich nicht nötig, aber es soll ja gerade kenntlich gemacht werden, wo das genau eingeht.

25.01.2017, 21:19

tissa

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ja ich habe gemeint bei beiden wegen der assoziativität, aber das hast du ja beantwortet.

ja dann (a*b^-1) (b*a^-1)

25.01.2017, 21:34

Guppi12

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Darauf bezog sich das mit der Assoziativität gerade nicht.

Auch wenn man Assoziativät benutzt, ist $\begin{eqnarray*} (ab)(b^{-1}a^{-1}) \end{eqnarray*}$ etwas völlig anderes als $\begin{eqnarray*} (ab)(a^{-1}b^{-1}) \end{eqnarray*}$ , ich dachte das wäre klar geworden, denn ansonsten wäre die Aufgabe vorher ja nicht fehlerhaft gewesen.

Das müssen wir zuerst einmal klarstellen. Ist dir bewusst, dass in der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} ab = ba \end{eqnarray*}$ für beliebige Elemente $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gilt?

25.01.2017, 22:34

tissa

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ja das hab ich jetzt alles verstanden.

26.01.2017, 10:07

Shalec

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Willst du deine Lösung mal posten?

Das was du da übrigens als Assoziativität notiert hattest, wird unter Kommutativität verstanden.

Du hast korrekt notiert $\begin{eqnarray*} (ab)\cdot (ab)^{-1}= 1 \end{eqnarray*}$ (wobei in $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ das Element $\begin{eqnarray*} 1=id \end{eqnarray*}$ ist. Dort sind ja Permutationen, also Abbildungen, und keine Zahlen enthalten. Mit id bezeichnet man dann die Permutation, die an der Reihenfolge nichts ändert.)

Weiter hattest du auch erkannt, dass $\begin{eqnarray*} abb^{-1}a^{-1}=a(bb^{-1})a^{-1}=a1a^{-1}=aa^{-1}=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Der letzte Schritt ist nun noch das Zusammenfassen. (Ich notiere das nur ausführlich, damit du jeden Schritt erfassen kannst)

26.01.2017, 10:26

Guppi12

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@Shalec, da fehlen aber m. E. immer noch einige Schritte. Wenn man wirklich auf Basislevel agieren will, darf z.B. nie unklar sein, welche Verknüpfung zuerst ausgeführt wird. Das muss durch Klammern geregelt sein. Außerdem darf man in jedem Schritt nur Klammern in dieser Art tauschen: $\begin{eqnarray*} x(yz)=(xy)z \end{eqnarray*}$ .

29.01.2017, 15:29

Shalec

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Zitat:

Original von Guppi12
@Shalec, da fehlen aber m. E. immer noch einige Schritte. Wenn man wirklich auf Basislevel agieren will, darf z.B. nie unklar sein, welche Verknüpfung zuerst ausgeführt wird. Das muss durch Klammern geregelt sein. Außerdem darf man in jedem Schritt nur Klammern in dieser Art tauschen: $\begin{eqnarray*} x(yz)=(xy)z \end{eqnarray*}$ .

Ja natürlich. Man soll ja direkt nachweisen, dass man die Assoziativität korrekt verwendet und auf Basis dieses Axioms zielführend umformen. smile

Aber der TE scheint das Interesse hieran verloren zu haben Big Laugh

(Abgabe des Übungszettels war wohl schon ^^)

Solche Beweise kommen aber noch viel häufiger, gerade in den Anfängen der Algebra und Gruppentheorie.

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