Martingale Definition und Beweis

26.01.2017, 08:16	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Martingale Definition und Beweis Meine Frage: Meine Aufgabe lautet wie folgt: $\begin{eqnarray} X_{t}, t= 0,...,T \end{eqnarray}$ Sei ein adaptierter Prozess und es gelte $\begin{eqnarray} E[\| X_{i}\|] < \infty \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist die Äquivalenz: $\begin{eqnarray} E[X_{t} \| F_{s}] = X_{s} \forall 0 \leq s \leq t \leq T \end{eqnarray}$ gdw $\begin{eqnarray} E[X_{t+1} \| F_{t}] = X_{t} \forall t=0,...,T-1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Naja, Das Eine Ist die Definition eines Martingals wie ich sie kenne und das andere ist die Definition eines Martingals für stetige Martingale (links). Da das für mich aber einfach Definitionen sind, kann ich gar nicht damit umgehen und weiß leider nicht, wie ich das beweisen soll... Grüße, lissy
26.01.2017, 12:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Martingale Definition und Beweis Das linke kann als Definition für stetige Martingale benutzt werden. Hier ist die Zeit aber diskret, d.h. $\begin{eqnarray} s,t \end{eqnarray}$ sind natürliche Zahlen. Noch einmal die Aussage weil ich eine kleine Umbenennung durchführen will: $\begin{eqnarray} E[X_{t} \| F_{s}] = X_{s} \forall 0 \leq s \leq t \leq T \end{eqnarray}$ gdw $\begin{eqnarray} E[X_{u+1} \| F_{u}] = X_{u} \forall u=0,...,T-1 \end{eqnarray}$ . Offenbar folgt die rechte Aussage sofort mit der Wahl von $\begin{eqnarray} s = u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t = u+1 \end{eqnarray}$ aus der linken. Interessanter ist also die Rückrichtung. So hat man nur Information über die bedingten Erwartungswerte für benachbarte Zeiten, aber daraus lässt sich die Information für alle Zeiten gewinnen. Der Beweis ist recht einfach und folgt aus der Turmeigenschaft. Dafür setzt man am besten $\begin{eqnarray} s:= u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t=u+k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \geq 0 \end{eqnarray}$ . Dann muss $\begin{eqnarray} E[X_{u+k} \| F_{u}] = X_{u} \forall 0 \leq u \leq u+k \leq T \end{eqnarray}$ zeigen. Für $\begin{eqnarray} k = 1 \end{eqnarray}$ also ein Zeitschritt und es ist die Aussage rechts. Für $\begin{eqnarray} k = 2 \end{eqnarray}$ verwendet man die Turmeigenschaft und den Fakt, dass $\begin{eqnarray} F_{u+1} \supset F_u \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eine Filtration ist.
26.01.2017, 16:37	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Martingale Definition und Beweis Vielen Dank, hat mir sehr geholfen

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