Lineare Abbildung, Basiswechsel bei Vektorraum von Polynomen

26.01.2017, 15:45	HPSI=EPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung, Basiswechsel bei Vektorraum von Polynomen Meine Frage: Hallo zusammen Ich habe Probleme mit der Teilaufgabe 4c) (siehe Anhang). Meine Ideen: Ich konnte das Problem zwar durch ausprobieren und umformen des Bildes lösen, will jedoch wissen wie man die Aufgabe mit Hilfe allgemein gültiger Definitionen lösen kann. Vielen Dank für eure Hilfe
26.01.2017, 18:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast Du den Teil b) gelöst ? Teil c) geht genauso.
27.01.2017, 15:41	HPSI=EPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe meine Unterlagen nochmals durchgeschaut und schließlich das Problem formell lösen können, jedoch kam beim lösen einer Probeprüfung eine weitere Frage auf, bzw. Aufgabe die ich nicht verstehe... Ich habe die die Aufgabenstellung angefügt. Ich habe bereits versucht sie zu lösen, bin jedoch nicht auf einen grünen Zweig gekommen... Vielen Dank!
27.01.2017, 17:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht mir jetzt etwas zu schnell. Was meinst Du damit, wenn Du sagst, Du konntest das Problem "formell" lösen ? Hast Du es gelöst oder nicht ? Wenn du es gelöst hast, wie hast Du es gelöst ? Was kommt dabei heraus ? Das sind doch alles interessante Aufgaben, daraus kann jeder etwas lernen, der die Fragen und Antworten in diesem Forum liest. Wir leben nicht mehr im 17. Jahrhundert, in dem Mathematiker sich gegenseitig Aufgaben gestellt haben, deren Lösung ihnen bekannt war, ohne dass sie ihre Methoden, Beweise und Lösungen veröffentlicht haben. Vorschlag: Du sagst erst einmal deutlich, wie Du die Matrizen berechnet hast und zu welchem Ergebnis Du dabei gekommen bist, dann sehen wir uns die nächste Aufgabe an.
27.01.2017, 18:52	HPSI=EPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elivs Tut mir leid ich bin momentan ein bisschen im Stress. Ich studiere im Bereich Mathematik an der ETH und bin mitten in der Prüfungsphase... Also ich bin folgendermaßen vorgegangen: Durch Anwenden der linearen Abbildung auf die definierte Basis im Urbildraum (ich nenne sie Basis A), erhält man im Bildraum zwei "neue" Polynome: einerseits $\begin{eqnarray} x-\frac{ 1 }{ 2 } x^2 \end{eqnarray}$ und andererseits $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ Da nun im Bildraum jedoch eine andere Basis definiert ist (ich nenne sie Basis B), muss man mittels einem Basiswechsel die Polynome noch in die neuen Koordinaten transformieren: Die "formelle" mathematische Beziehung lautet: $\begin{eqnarray} D=C^{-1} A C \end{eqnarray}$ (1.1) Ausserdem gilt: $\begin{eqnarray} C_{ B } \overrightarrow { w_{ B } } = \overrightarrow { v_{ A } } \end{eqnarray}$ Wir suchen also den vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow { w_{ B } } \end{eqnarray}$ . Ausgeschrieben sieht dies für das erste Polynom folgendermassen aus: $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 3 & 2x & x^2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} w_{1}\\ w_{2} \\ w_{3} \end{bmatrix} =x-1/2x^2 \end{eqnarray}$ (1.2) Durch anschließenden Koeffizientenvergleich lassen sich $\begin{eqnarray} w_{1,2,3} \end{eqnarray}$ so bestimmten, dass die Gleichung wahr ist. So erhält man fürs erste Polynom: $\begin{eqnarray} w=\begin{bmatrix} 0\\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Durch einsetzten in die Gleichung 1.2, lässt sich schnell prüfen ob das Resultat korrekt ist. Tut man das selbe mit dem zweiten Polynom und schreibe dann die beinen $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ Vektoren als Matrix, hat man die gesuchte Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Ich entschuldige mich noch einmal für die das Missverständnis!
27.01.2017, 19:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht nicht schlecht aus. Als Übungsaufgabe kann man es kürzer fassen (das spart Zeit ! ). $\begin{eqnarray} F(1-x)=x-\frac 1 2 x^2=03+\frac 1 2* 2x-\frac 1 2* x^2, F(2x)=x^2=03+02x+1x^2\Rightarrow B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \frac 1 2 & 0 \\ -\frac 1 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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27.01.2017, 20:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich sehe, dass Du schon Ahnung von Lineare Algebra hast, genügen vielleicht folgende Tipps für die neue Aufgabe (wenn nicht, darfst Du gerne nachfragen). Eine lineare Gleichung U beschreibt eine Hyperebene, im $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ also einen 3-dimensionalen Untervektorraum. 2 verschiedene lineare Gleichungen V beschreiben den Durchschnitt von 2 Hyperebenen. Ohne gerechnet zu haben vermute ich mal dass der Durchschnitt von U und V eindimensional ist. Für b) ist dann die Dimensionsformel wichtig: $\begin{eqnarray} dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U\cap V) \end{eqnarray}$ c) die gesuchte Abbildung muss eine Basis von U+V auf 0 abbilden d) projiziere $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ auf U e) da müsste ich nachdenken ... Kommentar: nichttriviale Aufgabe

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