Beweis mit obere und untere Schranke

26.01.2017, 17:13

GrüneFigur

Beweis mit obere und untere Schranke

Meine Frage:
Hallo

folgende Aufgabe habe ich zu beweisen:

Sei $\begin{eqnarray*} (M, \sqsubseteq) \end{eqnarray*}$ eine geordnete Menge und $\begin{eqnarray*} A \subseteq M \end{eqnarray*}$ . Zu Beweisen ist:

$\begin{eqnarray*} ((A^{\Delta})^{\nabla})^{\Delta} = A^{\Delta} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} ((A^{\Delta})^{\nabla})^{\Delta} \Leftrightarrow ((\forall a \in A: a \sqsubseteq x)^{\nabla})^{\Delta} \Leftrightarrow (\forall a \in A: x \sqsubseteq ( a \sqsubseteq x))^{\Delta} \Leftrightarrow (\forall a \in A: ( x \sqsubseteq a) \wedge ( x \sqsubseteq x))^{\Delta} \Leftrightarrow (\forall a \in A: ( x \sqsubseteq a))^{\Delta} \Leftrightarrow \forall a \in A: a \sqsubseteq ( x \sqsubseteq x) \Leftrightarrow \forall a \in A: ( a \sqsubseteq x) \wedge ( a \sqsubseteq a) \Leftrightarrow \forall a \in A: a \sqsubseteq x) \Leftrightarrow A^{\Delta} \end{eqnarray*}$

Bin mir nicht sicher, ob man es so machen kann, da es mir so aussieht, als ob ich es mir zu einfach gemacht habe.

26.01.2017, 18:21

Clearly_wrong

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Vorweg: Wie ist $\begin{align*} A^\Delta, A^\nabla \end{align*}$ definiert?

Wie auch immer es definiert ist, Äquivalenzzeichen gehören nur zwischen Aussagen und $\begin{align*} ((A^\Delta)^\nabla)^\Delta \end{align*}$ ist wahrscheinlich eher keine Aussage.
Das ließe sich beheben, wenn dahinter nicht eine Mischung aus Aussage und Mengenoperation stehen würde. Bitte korrigiere diese Fehler.

Falls $\begin{align*} A^\Delta \end{align*}$ doch eine Aussage sein soll, ziehe ich meine Einwände zurück.

Edit: Das braucht doch nicht Leid zu tun, da kann ja niemand was für smile

Hoffen wir, dass unsere Fragen geklärt werden.

26.01.2017, 18:23

Elvis

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Sieht hübsch aus, aber ich verstehe es nicht. Wie sind die Dreiecke $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ definiert ?
Muss nicht in jeder Zeile deiner äquivalenten Umformungen eine Menge auftreten ? Wenn gelegentlich über a in A quantifiziert wird, ist dem nicht so.

(Die zeitliche Überschneidung der Antworten tut mir leid, wir haben anscheinend dieselben Probleme mit dieser Lösung.)

26.01.2017, 18:33

GrüneFigur

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Oh, sorry

Hier die Definiton von userem Skript

Definition Schranke:

Es seien $\begin{eqnarray*} (M, \sqsubseteq) \end{eqnarray*}$ eine geordnete Menge und $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \end{eqnarray*}$ . Ein Elment $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heißt,

obere Schranke $\begin{eqnarray*} (A^{\Delta}) \end{eqnarray*}$ von N, falls $\begin{eqnarray*} y \sqsubseteq x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ gilt

untere Schranke $\begin{eqnarray*} (A^{\nabla}) \end{eqnarray*}$ von N, falls $\begin{eqnarray*} x \sqsubseteq y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ gilt

26.01.2017, 18:42

Clearly_wrong

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In diesem Fall verstehe ich die Aufgabe nicht. Für mich ergibt die Definition so keinen Sinn. Wo kommt in der Definition auf einmal das $\begin{align*} A \end{align*}$ her?

Übernimm gerne, Elvis.

26.01.2017, 18:46

GrüneFigur

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Die Definiton ist "allgemein" gehalten. Auf die Aufgabe bezogen wäre ja dann A = N.

26.01.2017, 18:52

Clearly_wrong

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Ok, also sollte in der Definition richtigerweise stehen:

Ein Elment $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heißt, obere Schranke $\begin{eqnarray*} (N^{\Delta}) \end{eqnarray*}$ von N, falls $\begin{eqnarray*} y \sqsubseteq x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$

stehen? Wenn du in deiner Definition die Menge $\begin{align*} N \end{align*}$ nennst, kannst du sie nicht auf einmal doch $\begin{align*} A \end{align*}$ nennen.

Leider behebt das mein Problem nicht. Die Zuordnung $\begin{align*} A\mapsto A^\Delta \end{align*}$ ist nicht eindeutig. Ich kann doch nicht einfach irgendeine obere Schranke $\begin{align*} N^\Delta \end{align*}$ nennen, davon gibt es doch beliebig viele. Daher ist das so keine sinnvolle Definition. Kannst du evt. mal einen Screenshot oder ein Bild dieser Definition hier hochladen?

26.01.2017, 18:57

GrüneFigur

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Na klar hier smile

26.01.2017, 19:05

Clearly_wrong

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Da steht doch etwas völlig anderes als du oben geschrieben hast..

$\begin{align*} N^\Delta \end{align*}$ ist die Menge aller oberen Schranken. Wir nennen nicht irgendeine obere Schranke einfach $\begin{align*} N^\Delta \end{align*}$ , sondern fassen alle davon in dieser Menge zusammen. Dann erhält man natürlich auch wieder eine Menge, auf die man wieder $\begin{align*} \Delta,\nabla \end{align*}$ anwenden kann.

Zeig das mal lieber mit zwei Inklusionen, das wird übersichtlicher. Wo die Probleme bei deinem Beweis liegen, haben Elvis und ich dir ja schon gesagt.

Ich zeige dir mal die eine Richtung.
Sei $\begin{align*} x\in A^\Delta \end{align*}$ . Zu zeigen ist, dass $\begin{align*} x \end{align*}$ obere Schranke an $\begin{align*} (A^\Delta)^\nabla \end{align*}$ ist. Sei also $\begin{align*} y\in (A^\Delta)^\nabla \end{align*}$ . Dann ist $\begin{align*} y \end{align*}$ untere Schranke an $\begin{align*} A^\Delta \end{align*}$ , also insbesondere $\begin{align*} y\sqsubseteq x \end{align*}$ . Da $\begin{align*} y\in (A^\Delta)^\nabla \end{align*}$ beliebig war, ist $\begin{align*} x \end{align*}$ obere Schranke an $\begin{align*} (A^\Delta)^\nabla \end{align*}$ , per Definition also ein Element von $\begin{align*} ((A^\Delta)^\nabla)^\Delta \end{align*}$ .

Dies zeigt $\begin{align*} A^\Delta \subset ((A^\Delta)^\nabla)^\Delta \end{align*}$ . Jetzt du die andere Inklusion.

26.01.2017, 20:44

GrüneFigur

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Entschuldige für die verspätete Antwort. Mein erster Versuch sieht so aus:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in ((A^{\Delta})^{\nabla})^{\Delta} \end{eqnarray*}$

Dann ist x eine obere Schranke von $\begin{eqnarray*} (A^{\Delta})^{\nabla}) \end{eqnarray*}$ . Sei also $\begin{eqnarray*} y \in ((A^{\Delta})^{\nabla}) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} y \sqsubseteq x \end{eqnarray*}$ . Somit ist y eine untere Schranke von $\begin{eqnarray*} A^{\Delta} \end{eqnarray*}$ . Sei also $\begin{eqnarray*} z \in A^{\Delta} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} x \sqsupseteq y \sqsubseteq z \end{eqnarray*}$ . Da x und z obere Schranken von y sind, gilt insbesondere x = z. Also ist $\begin{eqnarray*} x \in A^{\Delta} \end{eqnarray*}$ .

26.01.2017, 20:57

Clearly_wrong

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Zitat:

Original von GrüneFigur
Dann gilt $\begin{eqnarray*} x \sqsupseteq y \sqsubseteq z \end{eqnarray*}$ . Da x und z obere Schranken von y sind, gilt insbesondere x = z. Also ist $\begin{eqnarray*} x \in A^{\Delta} \end{eqnarray*}$ .

Eine Regel dieser Art wäre mir neu, also da musst du nochmal ran.

26.01.2017, 21:21

GrüneFigur

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(Ab letzter Satz smile

Dann gilt $\begin{eqnarray*} y \sqsubseteq z \end{eqnarray*}$ . Also gilt dann $\begin{eqnarray*} x \sqsubseteq y \sqsubseteq z \end{eqnarray*}$ . Wegen Transitivität gilt dann auch $\begin{eqnarray*} x \sqsubseteq z \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} x \in A^{\Delta} \end{eqnarray*}$ .

26.01.2017, 21:54

Clearly_wrong

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Wir haben aber nicht $\begin{align*} x\sqsubseteq y \end{align*}$ , sondern genau umgekehrt $\begin{align*} y\sqsubseteq x \end{align*}$ .

Außerdem würde auch aus $\begin{align*} x\sqsubseteq z \end{align*}$ garnicht folgen, dass $\begin{align*} x\in A^\Delta \end{align*}$ .

Fang lieber so an:

Sei $\begin{align*} x\in((A^\Delta)^\nabla)^\Delta \end{align*}$ . Zu zeigen ist $\begin{align*} x\in A^\Delta \end{align*}$ , also $\begin{align*} y\sqsubseteq x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} y\in A \end{align*}$ . Also nehmen wir uns beliebiges $\begin{align*} y\in A \end{align*}$ her und zeigen das. Es ist dafür wegen der Eigenschaft von $\begin{align*} x \end{align*}$ hinreichend, zu zeigen, dass $\begin{align*} y\in (A^\Delta)^\nabla \end{align*}$ , also zeige dies.

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