Grenzwert einer Reihe

26.01.2017, 23:41

ayra

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Grenzwert einer Reihe

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor, hatte das Thema auch schon, aber ich kann die Theorie nicht mehr richtig anwenden wie es scheint. Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen!

Meine Ideen:
Die einzige Idee die ich bisher aus der Theorie hatte, ist den Grenzwert zu berechnen. Wenn es ihn gibt, ist die Reihe konvergierend. Ich weiss aber nicht, welche Formel (also für welche Reihe) ich anwenden muss und wie man herausfindet, um welche Reihe es sich handelt.

27.01.2017, 00:30

Mulder

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RE: Grenzwert einer Reihe
Die geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum q^k \end{eqnarray*}$

konvergiert für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ . In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} q=\frac{2a-1}{a+1} \end{eqnarray*}$

Rechne ein bisschen rum, um a entsprechend einzugrenzen.

27.01.2017, 10:43

ayra

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RE: Grenzwert einer Reihe
Super vielen Dank!
Also ich habe das mal versucht und habe dafür eine Fallunterscheidung für den Betrag gemacht. Danach wieder je zwei Fallunterscheidungen, da ja mit a+1 multipliziert wird.
Dabei ist dann schlussendlich -1<a<2 und a>0 herausgekommen. Das würde dann ja 0<a<2 ergeben.
Stimmt das?
Und um den Grenzwert zu berechnen, muss ich ja logarithmieren, oder? Ich bekomme dann
k log (2a-1) - log (a+1), aber ich komme nicht mehr weiter und bezweifle auch, dass das stimmt.
Wie muss ich da vorgehen?

27.01.2017, 10:59

adiutor62

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RE: Grenzwert einer Reihe
Den Grenzwert für |q|<1 findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

27.01.2017, 11:02

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von ayra
Dabei ist dann schlussendlich -1<a<2 und a>0 herausgekommen. Das würde dann ja 0<a<2 ergeben.
Stimmt das?

Ja.

Freude

27.01.2017, 11:25

ayra

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RE: Grenzwert einer Reihe
Ich habe die Formel, aber ich kann sie nicht auf den Fall anwenden. Also q ist ja (2a-1)/(a+1), aber wie finde ich a0?
Und wie mache ich dass wenn ich nun eine Formel mit dem Parameter a habe? Ich kann die Lösung aus dem ersten Teil der Aufgabe einsetzen, denke ich mal. Das war 0<a<2 aber da weiss ich auch nicht wie das geht unglücklich

unglücklich

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27.01.2017, 11:32

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von ayra
aber wie finde ich a0?

Das a0 ist der Startwert deiner Reihe, in diesem Fall die 1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von ayra
Und wie mache ich dass wenn ich nun eine Formel mit dem Parameter a habe?

Du setzt eben überall, wo ein q steht, den Term $\begin{eqnarray*} \frac{2a-1}{a+1} \end{eqnarray*}$ ein. smile

smile

27.01.2017, 11:34

ayra

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RE: Grenzwert einer Reihe
Ach ja das mit dem q macht jetzt absolut sinn Hammer

Hammer

Aber bei a0 blicke ich einfach nicht genau durch. Wie liest man den Startwert an einer geomterischen Reihe ab? Sorry ich bin echt total eingerostet in Mathe... Danke für deine Geduld!

27.01.2017, 11:43

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe
Wie ich schon sagte: du bildest den ersten Summanden der Reihe, also den für k=0.

27.01.2017, 11:45

ayra

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RE: Grenzwert einer Reihe
Achso ich setze einfach 0 für k in die Reihe ein und bekomme dann 1. Wenn jetzt also stehen würde unter dem Summenzeichen k=3 müsste ich drei Einsetzen um a0 zu bekommen...
Danke smile

smile

27.01.2017, 11:58

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe
Vorsicht! Bei k=3 paßt die geometrische Summenformel nicht. Die Summe muß schon mit k=0 anfangen. Lehrer

Lehrer

27.01.2017, 12:01

ayra

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RE: Grenzwert einer Reihe
oh... dann hoffe ich mal mal dass nur Aufgaben mit k=0 kommen geschockt

geschockt

27.01.2017, 12:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von ayra
dann hoffe ich mal mal dass nur Aufgaben mit k=0 kommen

Darauf würde ich mich an deiner Stelle nicht verlassen. Sondern mir eher überlegen, wie man das dann auf den Fall k=0 rückführen kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.01.2017, 12:44

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe
Sorry jetzt für die Verwirrung, aber an irgendeiner Stelle war ich gedanklich falsch abgebogen. Hammer

Hammer

Also nochmal im Ganzen:

Für die geometrische Reihe gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Fängt jetzt die geometrische Reihe mit k=k_0 an, so gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=k_0}^{\infty} q^k = a_0 \cdot \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ wobei das a_0 mit $\begin{eqnarray*} a_0 := q^{k_0} \end{eqnarray*}$ festgelegt wird. a_0 ist also der erste Summand der Reihe und somit gilt in der Tat:

Zitat:

Original von ayra
Wenn jetzt also stehen würde unter dem Summenzeichen k=3 müsste ich drei Einsetzen um a0 zu bekommen...

Danke an IfindU für den Hinweis. Prost

Prost

27.01.2017, 12:52

ayra

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RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Sorry jetzt für die Verwirrung, aber an irgendeiner Stelle war ich gedanklich falsch abgebogen. Hammer

Hammer

Also nochmal im Ganzen:

Für die geometrische Reihe gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Fängt jetzt die geometrische Reihe mit k=k_0 an, so gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=k_0}^{\infty} q^k = a_0 \cdot \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ wobei das a_0 mit $\begin{eqnarray*} a_0 := q^{k_0} \end{eqnarray*}$ festgelegt wird. a_0 ist also der erste Summand der Reihe und somit gilt in der Tat:

Zitat:

Original von ayra
Wenn jetzt also stehen würde unter dem Summenzeichen k=3 müsste ich drei Einsetzen um a0 zu bekommen...

Das gilt also immer für die geometrische Reihe. Und in anderen Fällen müsste ich die Summen, die dann noch fehlen dazu addieren? Also wenn zB steht k=1, dann noch die Summe bei k=0 dazuaddieren?
Ich habe da sowas in der Art im Hinterkopf...

27.01.2017, 13:13

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe
Nun ja, das kommt auf die Sichtweise an. Summanden, die du in eine Summe hineinnimmst, mußt du wieder subtrahieren, damit es am Ende stimmt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = - a_0 + \sum_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$

27.01.2017, 14:54

ayra

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RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Nun ja, das kommt auf die Sichtweise an. Summanden, die du in eine Summe hineinnimmst, mußt du wieder subtrahieren, damit es am Ende stimmt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = - a_0 + \sum_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$

Danke schön Freude

Freude

27.01.2017, 15:12

ayra

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RE: Grenzwert einer Reihe
Ich hätte noch eine kleine Frage zum Grenzwert, aber diesmal bei einer geometrischen Folgen. Gibt es da auch so eine Formel wie bei der geometrischen Reihe?
Ich habe nämlich gegeben:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine geometrische Folge mit a1 >0 und
$\begin{eqnarray*} q \in (0, 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ als Folge wobei gilt: $\begin{eqnarray*} b_{n} = (a_{n})^{20} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun herausfinden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } bn \end{eqnarray*}$

Bisher habe ich die gegebenen Angaben eingesetzt
und erhalten dass:

$\begin{eqnarray*} b_{n} = (a_{1})^{20} \times (q^{20})^{n-1} \end{eqnarray*}$

27.01.2017, 15:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von ayra
$\begin{eqnarray*} b_{n} = (a_{1})^{20} \times (q^{20})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Diese Darstellung ist doch perfekt um zu sehen, dass dann auch $\begin{align*} (b_n) \end{align*}$ eine geometrische Folge

$\begin{align*} b_n = b_1 \cdot \tilde{q}^{n-1} \end{align*}$

ist, und zwar mit den Parametern $\begin{align*} b_1=a_1^{20} \end{align*}$ und $\begin{align*} \tilde{q}:=q^{20} \end{align*}$ . Aus $\begin{align*} 0<q<1 \end{align*}$ folgt dann auch $\begin{align*} 0<\tilde{q}<1 \end{align*}$ .

27.01.2017, 15:58

ayra

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von ayra
$\begin{eqnarray*} b_{n} = (a_{1})^{20} \times (q^{20})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Diese Darstellung ist doch perfekt um zu sehen, dass dann auch $\begin{align*} (b_n) \end{align*}$ eine geometrische Folge

$\begin{align*} b_n = b_1 \cdot \tilde{q}^{n-1} \end{align*}$

ist, und zwar mit den Parametern $\begin{align*} b_1=a_1^{20} \end{align*}$ und $\begin{align*} \tilde{q}:=q^{20} \end{align*}$ . Aus $\begin{align*} 0<q<1 \end{align*}$ folgt dann auch $\begin{align*} 0<\tilde{q}<1 \end{align*}$ .

Das leuchtet mir schon ein. Aber eben, wie komme ich davon auf den grenzwert? verwirrt

verwirrt

27.01.2017, 16:11

HAL 9000

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Der Grenzwert einer geometrischen Folge mit $\begin{align*} |q|<1 \end{align*}$ ist immer derselbe: Null.

27.01.2017, 16:32

ayra

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Achso, dann gilt also hier dasselbe für eine geometrische Folge wie für die geometrische Reihe.
Vielen, vielen Dank, dass hätte ich nämlich überhaupt nicht geschnallt smile

smile

27.01.2017, 16:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von ayra
Achso, dann gilt also hier dasselbe für eine geometrische Folge wie für die geometrische Reihe.

Wie darf ich "dasselbe" hier verstehen?

Jedenfalls nicht so, dass der Grenzwert einer geometrischen Reihe (= Reihenwert) auch immer Null ist - das wäre horrender Blödsinn.

27.01.2017, 16:39

ayra

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nein ich dachte nur, die geometrische Reihe ist konvergierend für |q| < 1
Und die geometrische Folge hat den Grenzwert 0 wenn |q| < 1

Also sind doch beide konvergierend für |q|<1 ? Sehe ich das richtig?

27.01.2017, 16:40

HAL 9000

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Ja, so stimmt es. Und eine kleine Sprachkorrektur: Es heißt "konvergent" statt "konvergierend".

27.01.2017, 16:43

ayra

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Gut merk ich mir, danke smile

smile

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