Ungleichung: Harmonisches/Geometrisches Mittel

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Narutachu Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung: Harmonisches/Geometrisches Mittel
Meine Frage:
Die Aufgabe beinhaltet eine Ungleichung zwischen dem Harmonischen und Geometrischen Mittel. sie lautet




zu verwenden ist die Abschätzung




diese Aufgabe hat keine Eile und dient nur zu meinem Verständnis, deshalb wäre eine Erklärung zum Lösungsweg sehr hilfreich.

Was mir Fehlt ist der Ansatz.Kann sein, dass ich zu doof bin. Vielleicht übersehe ich einfach einen sehr einfachen Schritt.
Egal was es ist, ich bin auf euch angewiesen und werde es wahrscheinlich auch noch öfter sein.

vielen Dank im Vorraus smile


MfG Narutachu

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre es zu behaupten







, da oben ja die Abschätzung zur Verfügung steht. da meine Ungleichung aber nicht bewiesen ist, ist es nur eine Überlegung.
Hier endet meine Überlegung leider auch schon.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung: Harmonisches/Geometrisches Mittel
Einen Ansatz geben ist schwer, weil die Aufgabe sehr direkt aus der gegebenen Ungleichung folgt. Sie folgt praktisch sofort mit der richtigen Wahl von . Vergleiche dazu die linke Seite der zu zeigenden Ungleichung und die rechte Seite der HMGM-Ungleichung. Auf die Wurzelausdrücke zu schauen und das zu wählen, führt auf den falschen Ansatz.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich geb nur mal folgenden Hinweis (auch weil ich weiß, dass viele das falsch machen), der ist vielleicht gerade noch vertretbar: Augenzwinkern

Eine Ungleichung mit positiven Werten wechselt bei Kehrwertbildung das Relationszeichen, d.h., es ist dann .
Narutachuu Auf diesen Beitrag antworten »

Das einzige was mir auffällt ist, dass wenn ich den Kehrwert der linken Seite der gegebenen Gleichung nehme, welcher dann also logisch gesehen größer wird, denn summe a_{k} >=n für a >=1
Und somit auch größer als die rechte Seite ist, Bleibt immernoch kleiner als die rechte Seite der Abschätzung. denn Summe a_{k} ist kleiner als summe 1/a_{k}.



aber aus diesen Informationen kann ich mir noch keine Antwort zusammen basteln :c
Narutachuu Auf diesen Beitrag antworten »

Streich den Gedanken. die eingesetzten werte müssen nicht >=1 sein. brüche gehen scheinbar auch.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst zu kompliziert. Du musst nichts abschätzen -- wenn man annimmt, dass alle strikt positiv sind (also keiner 0), so ist die zu zeigende Abschätzung äquivalent zur AMGM. Und das sieht man indem man für wählt, für eine geeignete Funktion .
 
 
Narutachuu Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich einfach nur zeigen dass es für Bestimmte werte gilt. wie z.B. die genannten x>0?

vielen dank für die Antwort. und ja, ich weiss dass ich oft zu kompliziert denke xd
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung: Harmonisches/Geometrisches Mittel
Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischen Mittel gilt für Werte . Die Ungleichung zwischen harmonischen und geometrischen gilt nur .

Man kann leicht sehen, dass negative Werte zuzulassen schon alleine wegen der Wurzel Probleme macht. Mit und und steht man vor der Verlegenheit zu berechnen. Ähnlich würde man mit durch 0 teilen.

Unabhängig davon sind die Ungleichungen dann auch gerne für negative Werte falsch, selbst wenn beide Seiten wohldefiniert sind.
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