Bilineare Abbildung zwischen Banachräumen |
28.01.2017, 15:46 | afghij | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bilineare Abbildung zwischen Banachräumen Es seien X und Y Banachräume und B : XxY-> K eine bilineare Abbildung, d.h., B(x ist für alle x? X und B(; y) für alle y?Y linear. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind. a) Die Abbildung B ist stetig. b) Die Abbildung B ist komponentenweise stetig, d.h., B(x; )? Y' für alle x ? X und B(; y)? X' für alle y?Y . c) Die Abbildung B ist in (0; 0) stetig. d) Es gibt ein M > 0 mit |B(x; y)| <= M ||x|| ||y|| für alle x ? X und alle y ? Y . Meine Ideen: Meine Ideen dazu sind, dass aus a) ja direkt c) folgt, weil wenn B überall stetig ist, dann auch in (0;0) Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht verstehe, wie man aus a) direkt b) folgert und leider auch nicht genau weiß was x' und Y' ist. |
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28.01.2017, 16:31 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, mit bzw. sind die (topologischen) Dualräume von bzw. gemeint. Mit Aussage b) ist einfach gemeint, dass für festgehaltenes die Abbildung stetig ist und umgekehrt. Die Richtung a -> b ist eher eine der einfacheren Richtungen. Dass aus Stetigkeit auf dem Produktraum auch komponentenweise Stetigkeit folgt, ist eigentlich ziemlich klar. Benutze z.B. das Folgenkriterium für Stetigkeit. Melde dich gerne bei weiteren Fragen. |
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