Bilineare Abbildung zwischen Banachräumen

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afghij Auf diesen Beitrag antworten »
Bilineare Abbildung zwischen Banachräumen
Meine Frage:
Es seien X und Y Banachräume und B : XxY-> K eine bilineare Abbildung, d.h., B(xAugenzwinkern
ist für alle x? X und B(; y) für alle y?Y linear. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
a) Die Abbildung B ist stetig.
b) Die Abbildung B ist komponentenweise stetig, d.h., B(x; )? Y' für alle x ? X und B(; y)? X' für alle y?Y .
c) Die Abbildung B ist in (0; 0) stetig.
d) Es gibt ein M > 0 mit |B(x; y)| <= M ||x|| ||y|| für alle x ? X und alle y ? Y .


Meine Ideen:
Meine Ideen dazu sind, dass aus a) ja direkt c) folgt, weil wenn B überall stetig ist, dann auch in (0;0)
Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht verstehe, wie man aus a) direkt b) folgert und leider auch nicht genau weiß was x' und Y' ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mit bzw. sind die (topologischen) Dualräume von bzw. gemeint.

Mit Aussage b) ist einfach gemeint, dass für festgehaltenes die Abbildung stetig ist und umgekehrt.

Die Richtung a -> b ist eher eine der einfacheren Richtungen. Dass aus Stetigkeit auf dem Produktraum auch komponentenweise Stetigkeit folgt, ist eigentlich ziemlich klar. Benutze z.B. das Folgenkriterium für Stetigkeit.

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