4 Vektoren im dreidimensionalen Raum

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mly Auf diesen Beitrag antworten »
4 Vektoren im dreidimensionalen Raum
Meine Frage:
Es soll bewiesen werden, dass 4 Vektoren im Raum immer linear abhängig sind.
Dass sie im 3D Raum abhängig sind ist klar.
Es geht mir nur darum, wie ich mit dem Beweis weitermache.

Meine Ideen:
Die Vektoren sind linear abhängig, wenn sich eine nichttriviale Lösung für das Gleichungssystem finden lässt. Ich habe das Gleichungssystem ganz allgemein aufgestellt. Es sind 3 Gleichungen mit 4 Variablen. Um 3 Gleichungen zu lösen brauche ich auch 3 Variablen, sprich, die 4 ist in irgendeiner Form eine Variation der anderen. Reicht es, das zu "behaupten" und damit zu beweisen, was zu beweisen gilt?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

welches GLS ? das homogene System zu

?

Jetzt argumentiere mit Rängen der Matrix des zugehörigen LGS
mlyfall Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten noch keine Matrizen, aber ich habe mal nachgeschaut. Der Rang der Matrix ist
3. Inwiefern beweist das jetzt die lineare abhänigkeit?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

dann denk dir noch eine 4. Zeile als Nullzeile. Demnach gibt es nichttriviale Lösungen.

Gut, das hast du richtigerweise auch schon angedeutet, aber so ist es sattelfest.
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