Elliptisches Paraboloid Parameterdarstellung

29.01.2017, 11:41	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Elliptisches Paraboloid Parameterdarstellung Hi ich soll das Volumen berechnen, welches von einem elliptischem Paraboloid $\begin{eqnarray} z = 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \end{eqnarray}$ und der Ebene z = 0 begrenzt wird. Hierzu komme ich aber nicht auf eine Parameterdarstellung für meinen Paraboloid, da mich dieses "elliptisch" verwirrt. Die Parametrisierung für einen Paraboloid kenne ich, die für eine Ellipse auch. Ich habe eine Parametrisierung gefunden, kann damit aber nichts anfangen: x = a u cos(v) y = b u sin(v) z = u^2 Wofür soll das u darin stehen und wie kann ich diese auf meine Gleichung (der Paraboloid steht ja auf dem Kopf) anwenden? Der Rest der Aufgabe ist mit klar, es geht hier nur um die Parametrisieung. MfG
30.01.2017, 10:22	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elliptisches Paraboloid Parameterdarstellung Was willst du mit einer Parameterdastellung? Es geht doch um das Volumen. Das ist einfach gegeben durch $\begin{eqnarray} V=\iiint\limits_V dxdydz \end{eqnarray}$ Du kannst höchstens statt der Integration in kartesischen Koordinaten ein anderes Koordinatensystem verwenden. Der Aufwand lohnt sich aber meiner Meinung nach hier nicht. Ich würde die Begrenzung des Volumens erst mal schreiben als: $\begin{eqnarray} \frac {x^2}{(a\sqrt {1-z})^2}+\frac {y^2}{(b\sqrt {1-z})^2}=1 \end{eqnarray}$ Daraus sieht man, dass ein ebener Schnitt durch das Volumen parallel zur xy-Ebene in Höhe $\begin{eqnarray} 0\leq z \leq 1 \end{eqnarray}$ eine Ellipse ergibt. Wenn man die Fläche einer Ellipse als bekannt ansieht, kann man das Volumen jetzt simpel mit dm Satz von Cavalieri bestimmen: $\begin{eqnarray} V=\int\limits_0^1 A(z) dz \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} A(z) \end{eqnarray}$ die Fläche der Ellipse in Höhe $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Darf man die Fläche einer Ellipse nicht als bekannt ansehen, ist $\begin{eqnarray} A(z) \end{eqnarray}$ durch die inneren Integrationen über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ des Volumenintegrals zuerst zu bestimmen.

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