[Zahlentheorie] Teilbarkeit Repunits

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diego09 Auf diesen Beitrag antworten »
[Zahlentheorie] Teilbarkeit Repunits
Hi zusammen,

komme aktuell bei folgender Aufgabenstellung nicht weiter:

Eine Zahl, deren Dezimaldarstellung nur aus Einsen besteht, heißt Repunit. Besteht eine Repunit aus n Einsen so bezeichnen wir sie mit Rn, d. h.
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Den einen Teil des Beweises, nämlich 6|n => 7|Rn habe ich bereits.

Dazu hab ich einfach n|6 nach n=6k aufgelöst und bei Rn eingesetzt.









Das dürfte ja soweit passen.

Beim Beweis der anderen Richtung 7|Rn => 6|n, komme ich leider nicht weiter.

Nach n Auflösung funktioniert hier nicht, da das n im Exponent steht und aktuell hab ich absolut keine Ahnung, wie ich hier weiterkommen soll.

Hat jemand einen Ansatz für mich, den ich weiterverfolgen kann?

Danke und Gruß
Diego
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist für , und damit auch für diese .

Damit ist es für ausreichend nachzuweisen, dass 7 kein Teiler von ist, und letzteres kann schlicht per Einzelfallprüfung erfolgen (auch wenn einige darüber die Nase rümpfen mögen, weil ihnen dies nicht "mathematisch" genug ist).

Tiefer drüber nachgedacht reicht es bereits, dies für und nachzuweisen. Letztendlich fußt Aussage darauf, dass 10 (resp. 3) eine primitive Wurzel modulo 7 ist.
diego09 Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, okay. Da muss man erstmal drauf kommen Augenzwinkern

Vielen Dank auf jeden Fall Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, der letzte Abschnitt war Zugabe. Zur Lösung der Aufgabe reicht das, was davor steht.
diego09 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin Hal,

ich hab nochmal eine kurze Nachfrage.

Wie kommst du auf so eine Lösung? Ist das einfach deiner (vermutlich) jahrelangen Erfahrung geschuldet? Mit allen Definitionen, die mir aus der Vorlesung vorliegen und meinem "normalen" logischen Denken (das wahrscheinlich recht unmathematisch ist), wäre ich da in hundert Jahren nicht drauf gekommen.

Klar, den Einzelfall prüfen hätte ich irgendwann auch gemacht, einfach um es mir nochmal vor Augen zu führen. Aber das allein reicht ja fast nie als Beweis.

Danke und Gruß
Diego
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von diego09
Wie kommst du auf so eine Lösung?

Wenn man die Grundlagen der primen Restklassengruppe kennt, ist dazu kein besonderer Geistesblitz nötig.
 
 
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