Erwartungswert einer nicht-negativen, ganzzahligen Zufallsvariablen

31.01.2017, 17:13	Mimi10	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert einer nicht-negativen, ganzzahligen Zufallsvariablen Meine Frage: Leider habe ich im Bereich der Stochastik kaum Vorkenntnisse, brauche aber folgenden Satz für eine Ausarbeitung: $\begin{eqnarray} E(X) \geq 2- P(X=1) - 2 P(X=0) \end{eqnarray}$ Bei X handelt es sich um eine nicht-negative, ganzzahlige Zufalls-Variable. Meine Ideen: Leider weiß ich nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll und habe nichts dazu gefunden. Ich denke, dass $\begin{eqnarray} E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) +2 \cdot P(X=2) + ... \end{eqnarray}$ Wie es weitergeht, weiß ich nicht. Danke im Voraus für eure Hilfe!
31.01.2017, 17:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätze einfach im Term $\begin{align} n\cdot P(X=n) \end{align}$ in dieser Summe den Faktor $\begin{align} n \end{align}$ nach unten durch 2 ab, d.h. $\begin{align} n\cdot P(X=n)\geq 2\cdot P(X=n) \end{align}$ , gültig für alle $\begin{align} n\geq 2 \end{align}$ .
31.01.2017, 17:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert einer nicht-negativen, ganzzahligen Zufallsvariablen Berechne doch mal $\begin{eqnarray} E(X) + P(X=1) + 2P(X=0) \end{eqnarray}$ mit der Definition vom Erwartungswert. Bemerke, dass nach Definition $\begin{eqnarray} \sum_{ k = 0}^\infty P(X=k) = 1 \end{eqnarray}$ ist.
31.01.2017, 17:47	Mimi10	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert einer nicht-negativen, ganzzahligen Zufallsvariablen Oh da stand ich wohl etwas auf dem Schlauch! Danke HAL 9000 und IfindU für die Hilfe. So müsste es richtig sein: $\begin{eqnarray} E(X) +P(X=1)+2P(X=0) =\\ 2P(X=0)+2P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)+...<br /> = 2 \cdot (P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+...) + P(X=3)+2P(X=4)+3P(X=5)+4P(X=6) = \\ 2 + P(X=3)+2P(X=4)+3P(X=5)+4P(X=6) \geq 2 \end{eqnarray}$

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