Matrix Norm = maximale Streckung eines Vektors

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VicFird Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Norm = maximale Streckung eines Vektors
Hey Leute,
danke schon mal vorweg. Ich arbeite mich gerade durch das Thema Normen, nun bin ich bei den induzierte Matrix-Normen angelangt. Wenn ich das richtig verstanden habe, entspricht dann die induzierte Matrix-Norm ||A|| dem Wert um den ein Vektor maximal gestreckt werden kann ?

viele Grüße

Vic
Ändru Auf diesen Beitrag antworten »

Im prinzip ja, allerdings ist es wichtig dass es sich dabei um Streckung eines Einheitsvektors handelt. Du kannst es auch so verstehen, dass es eine Norm auf einer Norm ist.

[latex]\| A \| := \max\limits_{x \neq 0}\frac{\|Ax\|_{Y}}{\|x\|_{Y}} = \max\limits_{\|x\|_Y = 1} \|Ax\|_{Y}[/latex]

Des Weiteren ist es wichtig, dass du dir bei induzierten Normen klar machst, dass quasi von einem Skalarprodukt abgeleitet werden. Was heisst das nun fuer die ensprechende Matrixnorm? Wechle Normen gibt es?
 
 
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

@Ändru: Wie ist das mit dem Skalarprodukt zu verstehen, kannst du das erläutern?
Inwiefern kommt die von der Supremumsnorm auf erzeugte Matrixnorm von einem Skalarprodukt?
Ändru Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ja genau die Frage, natuerlich kommt die Supremumsnorm NICHT von einem Skalarprodukt! Es gibt naehmlich nur eine natuerlich (von einem Skalarprodukt) induzierte Norm und das ist die Spektralnorm. Aber du hast recht, es ist etwas "lax" bzw. missverstaendlich hingeschrieben. Ich werde das aendern.
Ändru Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Anmerkung von Clearly_Wrong:

Zitat:
Original von Ändru
Des Weiteren ist es wichtig, dass du dir bei induzierten Normen klar machst, dass quasi von einem Skalarprodukt abgeleitet werden. Was heisst das nun fuer die ensprechende Matrixnorm? Wechle Normen gibt es?


Diese Aussage/Frage sollte geaendert werden und sollte lauten:

Wieviele von Skalarprodukten induzierten Normen gibt es? Wie heissen sie?

Hier noch ein Link zur numerischen linearen Algebra
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe immernoch nicht, wo die Skalarprodukte auf einmal herkommen, die Frage des Threaderstellers hat doch garnichts mit Skalarprodukten zu tun verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube das Missverständnis ist in der Formulierung vom Threadsteller:
Zitat:
[...]nun bin ich bei den induzierte Matrix-Normen angelangt.
.

Der Ausdruck "induzierte Norm" tritt häufig im Kontext von "von einem Skalarprodukt induzierte Norm" auf. So hat es Ändru wohl verstanden.

Auf der anderen Seiten induzieren Normen auf den Räumen [l] (X, \| \cdot \|_X)[/l] und [l] (Y, \| \cdot\|_Y)[/l] eine natürliche Norm auf der Menge der Linearen Abbildungen [l] L : X \to Y[/l], so wie es Änderu schrieb (außer, dass [l] X,Y[/l] im Allgemeinen nicht zusammenfallen).

Ich persönlich denke man meint hier nur das zweite "induziert", also so wie es Clearly_wrong verstanden zu scheint hat.
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