Grenzwert

02.02.2017, 15:59

Ronald mc Donald

Grenzwert

Bestimme $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots 2n}}{n} \end{eqnarray*}$

Wir haben schon alles versucht und sehen einfach keine Sonne. Wie geht das?

02.02.2017, 16:16

HAL 9000

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$\begin{align*} \ln\left( \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdot \ldots\cdot (2n)}}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left( 1+\frac{k}{n} \right) \end{align*}$

kann man als Obersumme des Riemannintegrals $\begin{align*} \int\limits_0^1 \ln(1+x) ~ \dd x \end{align*}$ interpretieren...

02.02.2017, 16:20

Matt Eagle

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RE: Grenzwert
Da gibt's verschiedene Möglichkeiten.

Vielleicht könnt ihr das Ganze auf die evtl bekannten Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{{2n\choose n}}=4 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n=\frac 1e \end{eqnarray*}$

zurückführen.

Oder ihr betrachtet einfach die Riemannsche Summe

$\begin{eqnarray*} \frac 1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right) \end{eqnarray*}$

und argumentiert damit weiter.

Grundsätzlich scheint mir das hier aber eher ein Thema für die HS-Mathe zu sein.

02.02.2017, 16:22

Matt Eagle

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RE: Grenzwert
...too late ...

bin raus!

07.02.2017, 10:14

Ronald mc Donald

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RE: Grenzwert
Habe riemannsumme gegoogelt.
Das hat mit integralen zu tun. :-(
Diff und Int Rechnung kann ich noch nicht benutzen.
Geht das auch ohne 'fortgeschrittene' Techniken?

07.02.2017, 10:46

HAL 9000

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Matt Eagle hat eine Alternativmöglichkeit benannt. Ganz ohne "fortgeschrittene" Techniken wird es nicht gehen - die Eulersche Zahl $\begin{align*} e \end{align*}$ , die in der Ergebnisdarstellung auftaucht, lässt sich nicht wegdiskutieren. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Ronald mc Donald
Diff und Int Rechnung kann ich noch nicht benutzen.

Was denn dann überhaupt? verwirrt

EDIT: Klassische Zugänge scheinen schwierig - z.B. allein der Nachweis der fallenden Monotonie von $\begin{align*} a_n = \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdot \ldots\cdot (2n)}}{n} \end{align*}$ auf elementaren Wege scheint nicht ganz ohne. Aber vielleicht hat ja noch jemand eine zündende "elementare" Idee...

08.02.2017, 12:20

Ronald mc Donald

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Ok,
Mit den beiden Folgen geht es.
Wir haben jetzt

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\binom{2n}{n}}=4\underbrace{\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}}}_{\to 1} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \frac 1e\sqrt[n]{en}\geq \frac{\sqrt[n]{n!}}n\geq\frac 1e\sqrt[n]{e} \end{eqnarray*}$

Und damit die beiden Grenzwerte, die Matt vorgeschlagen hat.

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!}}}n=\frac 4e \end{eqnarray*}$

Einwände?

08.02.2017, 12:50

HAL 9000

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Grundsätzlich ist das Ok so. Wobei man zur Begründung von

Zitat:

Original von Ronald mc Donald
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}}}_{{\color{red}\to 1}} \end{eqnarray*}$

schon noch ein paar Worte verlieren sollte. Ich könnte mir das via Cauchyschen Grenzwertsatz vorstellen, vielleicht hast du ja auch eine andere Idee dafür.

Und die Doppelungleichung für $\begin{align*} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \end{align*}$ : Wenn du die benutzen darfst - fein. Ansonsten kannst du sie natürlich auch beweisen, wo dann die e-Definition in den Beweis eingehen wird.

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