Koeffizienten der Elemente aus dem Dualraum

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muphys Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizienten der Elemente aus dem Dualraum
Hi zusammen

Ich beschäftige mich momentan mit dem Begriff des Dualraums. Leider verstehe ich offensichtlich schon etwas grundsätzliches nicht, erhoffe mir aber Hilfe von euch.. verwirrt In meinem Buch, das ich zum Lernen benütze (Linear Albegra, 4th Edition, Friedberg), steht auf den ersten Seiten zum Dualraum Folgendes:

Suppose that is a finite-dimensional vector space with the ordered basis . Let be the -th coordinate function with respect to as just defined, and let . Then is an ordered basis for , and, for any , we have

Meine Frage:
Angenommen ich möchte irgendeine Funktion aus als Linearkombination der Basisvektoren darstellen, so finde ich den -ten Koeffizienten dieser Linearkombination, indem ich genau diese Funktion auf den -ten Basisvektor aus anwende? Ich tu mich schwer damit, dass das auf der rechten Seiter dieser Gleichung nochmals vorkommt, bzw. dass man, um zu beschreiben, dieses anwenden muss.
Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand erklären könnte, warum das kein Problem darstellt...

Cheerio Wink
Muphys
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dir etwas ganz plumpes weiter: Wenn du bzgl. der Standardbasis darstellen willst, also dann findest du die Koeffizienten vor den Basisvektoren ja auch durch "Rückgriff auf "....
Damit will ich zum Ausdruck bringen, dass es dich nicht wundern sollte, dass "irgendetwas, was mit zusammenhängt", auch auf der rechten Seite der Gleichung auftaucht.

Genau so wie dein Beispiel habe ich auch mein Beispiel oben sehr einfach gestrickt. Hätte ich nämlich nicht die Standardbasis von benutzt, sondern eine andere, so wären die Koeffizienten Linearkombinationen der drei Einträge des Spaltenvektors geworden. Genauso wäre deine Basisdarstellung von deutlich komplizierter geworden, wenn man die Basis anders gewählt hätte.

ist nun hier aber genau die Menge der "Koordinatenfunktionen" bezüglich der Basis . Die , an denen in deiner Gleichung ausgewertet wird, sind gerade die Basisvektoren der Basis . Damit passt dann alles sehr einfach zusammen. Die haben also auch die Eigenschaft, dass und für gelten.

Damit ist dann auch der formale Beweis der Gleichung sehr leicht. Man hat links und rechts vom Gleichheitszeichen lineare Abbildungen stehen, also kann man die Gleichheit auf einer Basis prüfen. Die Basis drängt sich auf und der Beweis geht leicht durch.
muphys Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Jester!

Vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Freude
Deine Erläuterungen helfen mir schon ein bisschen, zumindest ist mir jetzt klar, dass auf der rechten Seite "irgendetwas, was mit zusammenhängt" stehen sollte. Ich hoffe die Intuition kommt mit der Zeit und mit dem Üben..

Danke dir!
Muphys
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