Lineare Unabhängigkeit unendlicher Mengen

Neue Frage »

balance Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit unendlicher Mengen
Hallo,

wir haben in der VL unendliche Mengen kaum behandelt. Wahrscheinlich gabs irgendwann mal eine ANmerkung hierzu, jedoch finde ich nichts in meinen Unterlagen.

Behauptung: Eine unendliche Menge von vektoren in einem K-Vektorraum V ist genau dann linear unabhängig, wenn der Schnitt von jeweils zwei endlichen Teilmengen linear unabhängig ist.

Ich denke, es stimmt nicht. Denken wir uns eine linear unabhängige Menge mit n Vektoren. Wir fügen einen weiteren linear unabhängigen hinzu. Beide Mengen sind unter sich lin. unabhängig, aber "zusammen" nicht.

Ich weis aber nicht, ob der Gedanke stimmt. Vorallem weis ich nicht, wie ich die Unendlichkeit hier genau behandeln soll.

Kann mir jemand sagen, ob die Behauptung stimmt oder nicht und wie man das begründet?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Definition: Unendlich viele Vektoren heißen linear unabhängig, wenn jeweils endlich viele von ihnen linear unbhängig sind.
Jetzt darfst Du noch einmal über die Behauptung nachdenken.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Also ja mit der Begründung, dass ein Schnitt zweier endlichen Mengen nur linear abhängig sein kann wenn ein Vektor darin bereits lina. abh. ist. Und umgekehrt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Ja" stimmt, aber deine Begründung ist ein bißchen mager (und ganz falsch).

"" Sei eine unendliche Menge von Vektoren und linear unabhängig. Dann ist per def jede endliche Teilmenge von M linear unabhängig. Der Durchschnitt von 2 endlichen Teilmengen ist endlich, also linear unabhängig.
"" Sei endlich, dann ist als Durchschnitt von 2 endlichen Teilmengen nach Voraussetzung linear unabhängig. Also ist linear unabhängig, also ist per def linear unabhängig.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Merci für die nette Ausführung smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »