Basis zu Untervektorraum

04.02.2017, 12:59

zinR

Basis zu Untervektorraum

Hi,

Ich habe gerade eine (vermeintlich) einfache Aufgabe gelöst, zweifle aber gerade doch sehr stark an der Lösung.
Hier die Aufgabe:
Es ist $\begin{eqnarray*} U:= \{ \left( \begin{matrix} a & b & 0 \\ 0 & c & c \end{matrix} \right) \in K^{2 \times 3} \mid a,b,c \in K \} \end{eqnarray*}$ .
Gesucht ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Hier meine Lösung: Beh.: $\begin{eqnarray*} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&0&0 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right),\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0&1&1 \end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$ bildet eine Basis. Die lineare Unabhängigkeit und, dass diese Matrizen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ erzeugen, ist schnell gezeigt. (Da ich in erster Linie nicht hier meinen Denkfehler vermute, führe ich das hier nicht in aller Ausführlichkeit auf.)

Meine Frage: Wieso bildet nicht auch $\begin{eqnarray*} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&0&0 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \end{matrix}\right) ,<br /> \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0&0&1 \end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$ eine Basis? Das würde ja Probleme mit der Dimension geben, es können also nicht beide Lösungen richtig sein. Jedoch ist die lineare Unabhängigkeit im zweiten Fall auch klar, das Erzeugersystem ebenfalls.
Vergesse ich eine Forderung, beim Bilden einer Basis? (Gerade, als ich diesen Text tippe fällt mir auf, dass ich mit der zweiten Basis auch Matrizen der Form $\begin{eqnarray*} \left( \begin{matrix}a&b&0 \\0&c&d \end{matrix}\right) a,b,c,d \in K, c \neq d \end{eqnarray*}$ erzeuge. Ist es dann so, dass ich auch "zu viel" erzeugen kann? Entweder, mir geht immer noch eine Forderung ab, oder meine Definition von Erzeugersystem ist falsch...)

Ich wäre dankbar, wenn ihr mir diese Frage kurzerhand beantworten könntet! smile

Edit: Ich zeige, dass eine Menge ein Erzeugersystem ist, indem ich ein beliebiges Element aus dem zu erzeugenden Vektorraum als Linearkombination der Elemente der Menge darstelle.

04.02.2017, 13:39

Elvis

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Deine ursprüngliche Basis von U ist perfekt, U hat die Dimension 3. Warum die Sache mit d schief geht, hast Du ja selbst schon gemerkt. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}\notin U \end{eqnarray*}$
Die 4 Matrizen sind eine Basis, aber eine Basis, die einen 4-dimensionalen UVR X erzeugt, der der den 3-dimensionalen UVR U enthält.

04.02.2017, 13:44

zinR

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Ja, mein Problem ist, dass ich meinen Beweis zu meiner zuerst gefundenen Basis identisch mit der zweiten führen könnte, ohne zu einem Widerspruch zu gelangen (obwohl ich das ja eigentlich sollte?).

Zitat:

Die 4 Matrizen sind eine Basis, aber eine Basis, die einen 4-dimensionalen UVR X erzeugt, der der den 3-dimensionalen UVR U enthält.

Anschaulich ist das klar, aber die Definitionen, auf die ich zugreife im Beweis, schließen das nicht aus.

Wikipedia liefert:

Zitat:

B ist eine Basis $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

04.02.2017, 13:46

Elvis

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Nun dürfte es klar sein. Eine Basis von V ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V

04.02.2017, 14:02

zinR

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Ahja! Das Erzeugersystem muss Teilmenge von V sein! Danke dir!

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