Matrix invertieren

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04.02.2017, 20:13	baldklausur	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix invertieren Meine Frage: Hallo, ich habe eine Verständnisfrage: über einem Körper K ist eine Matrix invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Aber wenn man über einem Ring ist, bedeutet es nicht, dass, wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist, dass die Matrix invertierbar ist. Meine Ideen: Ich verstehe das mit dem Ring nicht so ganz: wie hängt da jetzt determinante und Inverse zusammen? Bedeutet es vllt, dass der Ring nicht unbedingt inverse Elemente von den Einträgen der matrix enthält, und somit insgesamt kein Inverses der Matrix existiert, obwohl die determinante ungleich 0 ist. Determinanten von Matrizen über Ringen kann man doch nur berechnen, wenn der Ring kommutativ ist oder?
05.02.2017, 11:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Über einem Ring gibt es Matrizen mit nichtverschwindender Determinante, die nicht invertierbar sind. Zum Beispiel ist die 1x1-Matrix (2) über $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ nicht invertierbar, die Determinante 2 aber von 0 verschieden. Da man die Inverse einer Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} (det A)^{-1}adj(A) \end{eqnarray}$ berechnen kann, ist auch über Ringen eine Matrix invertierbar, deren Determinante eine Einheit des Ringes (also invertierbar im Ring) ist. Vermutlich sind das aber nicht alle invertierbaren Matrizen (da bin ich mir aber nicht sicher).
05.02.2017, 12:01	baldklausur	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix invertieren Danke für deine Antwort. Wie sieht es dann mit den Einträgen der Matrix aus, sind alle Eintrage Element der Einheit des Ringes? Wie kann eine Determinante aussehen, wenn sie in der Einheit des Ringes liegt kein Körper) Ich kenn nur die Einheit von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ und die Elemente sind 1 und -1. Was meinst du mit: "Vermutlich sind das aber nicht alle invertierbaren Matrizen (da bin ich mir aber nicht sicher)." ? Und muss der Ring für die Determinantenberechnung kommutativ mit 1 sein oder nicht?
05.02.2017, 12:07	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Lasst mich ergänzen: Es ist tatsächlich richtig, dass eine invertierbare Matrix eine Einheit als Determinante haben muss. Das liegt am Determinantenproduktsatz.
05.02.2017, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@baldklausur Ja, die Adjunkte enthält Ringelemente und sonst nichts. Es gibt viele Ringe, und viele Ringe haben viele Einheiten. Ich war mir nicht sicher, weil ich exotische Ringe kenne, mit denen ich noch nie gearbeitet habe. Ob man "Ring" immer als kommutativ mit 1 definiert oder nicht, ist Geschmackssache. Ein Ring ohne 1 hat keine Einheiten. @Clearly_wrong Danke für die Ergänzung.
05.02.2017, 14:31	baldklausr	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix invertieren Danke an euch beide. Was gibt es denn für exotische Ringe? Welcher Determinantenproduktsatz ist gemeint? der hier det (A^-1)=1/det(A) zusammen mit det (AB)= det(A) * det(B) ?
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05.02.2017, 14:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
z.B. noethersche Ringe z.B. Dedekind-Ringe z.B. Ordnungen in algebraischen Zahlkörpern z.B. Polynomringe in mehreren Variablen über algebraischen Funktionenkörpern um nur ein paar Sachen zu nennen, von denen ich ein wenig verstehe.
05.02.2017, 14:44	baldklausr	Auf diesen Beitrag antworten »
matrix invertieren welcher Fachbereich ist das eigentlich, Algebra/ Zahlentheorie? Ich sammle grad Gebiete, in denen ich meine Bachelorarbeit schreiben könnte bzw vllt interessant sind. Wäre das Thema in einer Bachelorarbeit von 10 Wochen+x machbar bzw einer von den Ringen? (ich weiß nicht was das alles für einen Umfang hat) haben dedekind ringe was mit Konstruktion reeller Zahlen nach Dedekind zu tun? @Clearly_wrong welchen Determinantenproduktsatz meinst du?
05.02.2017, 14:48	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{align} 1 = \det(A^{-1}A) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1})\det(A) \end{align}$ folgt sofort, dass $\begin{align} \det(A) \end{align}$ eine Einheit ist, wir haben ja gerade ein inverses Element hingeschrieben. Ich hatte gedacht, das wäre mit dem Stichwort klar.
05.02.2017, 15:01	baldklausr	Auf diesen Beitrag antworten »
matrix invertieren @Clearly_wrong das hatte ich schon vorher in einem anderen Post in diesem Thread geschrieben: "Welcher Determinantenproduktsatz ist gemeint? der hier det (A^-1)=1/det(A) zusammen mit det (AB)= det(A) * det(B) ? "
05.02.2017, 15:32	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist halt Unsinn, weil man, bevor man gezeigt hat, dass es sich um eine Einheit handelt $\begin{align} 1/\det(A) \end{align}$ nicht hinschreiben kann. Dieser Ausdruck ist nicht wohldefiniert, bevor man weiß, dass $\begin{align} \det(A) \end{align}$ invertierbar ist.
05.02.2017, 15:52	baldklausr	Auf diesen Beitrag antworten »
matrix invertieren @Clearly_wrong Klar Danke @Elvis welcher Fachbereich ist das eigentlich, Algebra/ Zahlentheorie? Ich sammle grad Gebiete, in denen ich meine Bachelorarbeit schreiben könnte bzw vllt interessant sind. Wäre das Thema in einer Bachelorarbeit von 10 Wochen+x machbar bzw einer von den Ringen? (ich weiß nicht was das alles für einen Umfang hat) haben dedekind ringe was mit Konstruktion reeller Zahlen nach Dedekind zu tun?
05.02.2017, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem "Part One: LOCAL FIELDS (BASIC FACTS)", "Chapter I: Discrete Valuation Rings and Dedekind Domains" beginnt Jean-Pierre Serre "Local Fields" Graduate Texts in Mathematics 67, Springer 1979. Ja, das ist Zahlentheorie. Nein, das versteht man nicht in Wochen oder Monaten, eher in Jahren oder Jahrzehnten oder gar nicht. Ich wage es nicht, dich bezüglich deiner Arbeit zu beraten. Ganz sicher wissen deine Professoren besser als ich, was gut für dich ist.
08.02.2017, 12:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag: wenn Du dich für Zahlentheorie interessierst, kannst Du dir als Einstieg die folgenden Bücher besorgen. Beide sind unerschöpfliche Quellen interessanter Ideen und anregender Gedanken, und wenn Du irgendein beliebiges Gebiet oder einen Begriff oder ein Thema daraus wählst, lässt sich damit sicher eine Bachelor-Arbeit gestalten. Helmut Hasse "Vorlesungen über Zahlentheorie" Springer Verlag 1950 S.L.Borewics / L.R.Safarevic " Zahlentheorie" Birkhäuser Verlag 1966
08.02.2017, 23:34	baldklausr	Auf diesen Beitrag antworten »
@elvis Vielen Dank
09.02.2017, 09:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Nachtrag: Für die Geschichte der Zahlentheorie sind die Arbeiten von Gauß (Kongruenzrechnung um 1800) und Hilbert (Zusammenhang zwischen Galoistheorie und Arithmetik (Stichwort: Hilbertsche Untergruppenreihe) um 1900) grundlegend. Dazwischen natürlich auch alle anderen Zahlentheoretiker des 19. Jahrhunderts, und danach das 20. Jahrhundert, wer weiß, was noch kommt ... Siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Zahlentheorie ... und hier die 420 vermutlich wichtigsten Zahlentheoretiker bisher (die Liste ist garantiert unvollständig) : http://www.numbertheory.org/ntw/N14.html#names_l

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