Ableitung mit Mittelpunktsregel integrieren

06.02.2017, 12:05	jackfisher87	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Ahoi hallo liebes Matheboard, ich muss für eine Semesteraufgabe die Flachwassergleichungen in 2 Raumdimensionen mit Quellterm lösen. Für eine Wasseroberfläche und ebenem Untergrund funktioniert das ganze als homogenes System soweit. Kommt allerdings ein Quellterm und eine Topografie (Boden mit z.b. wellen) hinzu geht das alles den Berg runter. Meine Frage bezieht sich auf den Quellterm, den ich laut Aufgabe erst mit der Mittelpunktsregel integrieren soll und dann die auftretende Ableitung einmal mit einer zentralen Finiten Differenz und einmal mit der exakten Ableitung in der Zellmitte lösen soll. Der Quellterm lautet dabei in x-Richtung: $\begin{eqnarray} gHb_{x} \end{eqnarray}$ mit der Gesamthöhe H=b+h mit b = Topografie und h = Wasserhöhe und $\begin{eqnarray} b=cos(4\pi x) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich integriere über x in den Grenzen $\begin{eqnarray} x_{i-1/2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{i+1/2} \end{eqnarray}$ , was dann meiner Meinung nach so aussehen sollte: $\begin{eqnarray} \int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}} \! gHb_{x} \, dx = (x_{i+1/2}-x_{i-1/2}) H_{((x_{i+1/2}+x_{i-1/2})/2)}gb_{x} \end{eqnarray}$ da ja aber H von b abhängt steht da ja $\begin{eqnarray} g(h+b)b_{x} \end{eqnarray}$ , kann ich das dann überhaupt so integrieren, wie ich das gemacht habe? oder ich drösel erst mal mit einer Produktregel auf und integriere dann den zweiten term mit der Mittelpunktsregel: $\begin{eqnarray} ( \left[b(h+b)\right]_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}} -\int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}} \! b(h+b)_{x} \, dx )g \end{eqnarray}$ wird deshalb nicht unbedingt einfach was vll nicht ganz ersichtlich war: h, b und H hängen natürlich alle von x ab durch H=h+b Hänge da grad richtig fest.. Vielen Dank für jeden Hinweis (= Der Jacko Willkommen im Matheboard! Ich habe Deine beiden Beiträge zu einem zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen
10.04.2017, 18:20	Krombopulus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Also Mittelpunktregel ist Teilstrecke mal Funktionswert in der Mitte also gH(x)b(x). Also ist das richtig. Hauptsache du hast x in mehrere Teilstücke zerlegt. Sonst ist das keine gute Abschätzung, zumindest wenn das ganze nichtlinear ist. Aber ich denke mal das hast du getan und du wolltest dir nur die Summen sparen. Zur Überprüfung einfach mal die Anzahl an Teilstücken erhöhen irgendwann sollte das Integral konvergieren. Viele Grüße!

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