n-fache Verkettung und Isomorphismus

06.02.2017, 17:19	Emely	Auf diesen Beitrag antworten »
n-fache Verkettung und Isomorphismus Meine Frage: Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei V ein K-Vektorraum und f:V -> V ein Endomorphismus mit f^n = f°....°f = 0 (die n-fache Verkettung) für ein n >=1. Zeigen Sie, dass idV - f ein Isomorphismus von V ist. Meine Ideen: Also ein Isomorphismus ist ja eine bijektive lineare Abbildung. idV müsste ja eigentlich alleine genau ein Isomorphismus sein, werden ja alle v aus V genau einmal getroffen. idV - f = idV da f ja null ist? Kann ich dass so machen? Und dann weil idV an sich ein Isomorphismus ist, dann folgt die Behauptung? Kann man dass so begründen? Oder braucht man nicht noch irgend ein v element V oder so?
06.02.2017, 17:42	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du darauf, dass $\begin{align} f \end{align}$ null ist? Das ist nirgendwo vorausgesetzt. Das kann man so also nicht machen. Schau dir mal an, was passiert, wenn du $\begin{align} \mathrm{id}_V-f \end{align}$ mit $\begin{align} f^{n-1} \end{align}$ verkettest, was, wenn du es mit $\begin{align} f^{n-2} \end{align}$ verkettest, was, wenn du es mit $\begin{align} f^{n-3} \end{align}$ verkettest. Setze dies fort. Kannst du dir daraus irgendwie eine Inverse von $\begin{align} \mathrm{id}_V-f \end{align}$ zusammenbauen?
06.02.2017, 18:19	Emely	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, erst mal vielen Dank für die Antwort So ganz verstanden hab ich des etzt aber leider immer noch nicht.... Also (idV - f) ° f ^(n-1) = idV (f^(n-1)) - f (f^(n-1)) da linear oder? (idV -f ) ° f ^(n-1) ° f^(n-2) .... °f^1 = idV( f ^(n-1) ° f^(n-2) .... °f^1) - f^n = idV( f ^(n-1) ° f^(n-2) .... °f^1) - 0 Und jetzt?
06.02.2017, 18:30	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} f(f^{n-1}) \end{align}$ kannst du vereinfachen. Eigentlich war es auch nicht so gedacht, dass du das immer weiter verkettest, sondern dir erstmal getrennt ansiehst, was passiert, wenn du $\begin{align} \mathrm{id}_V-f \end{align}$ mit jedem einzeln verkettest. Und immer ans Vereinfachen denken.
06.02.2017, 18:55	Emely	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ALso f(f^(n-1)) = f^n = 0 Also: (idV - f) ° f ^(n-1) = idV (f^(n-1)) - f (f^(n-1)) = idV (f^(n-1)) -0 (idV - f) ° f ^(n-2) = idV (f^(n-2)) - f (f^(n-2)) = idV (f^(n-2)) -f^(n-1) (idV - f) ° f ^(n-3) = idV (f^(n-3)) - f (f^(n-3)) = idV (f^(n-3)) -f^(n-2) Kann man idV (f^(n-1)) zu idV vereinfachen? Oder idV einfach weglassen? Aber wie mir das weiterhelfen soll verstehe ich leider nicht....
06.02.2017, 20:39	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktoren mit $\begin{align} \mathrm{id}_V \end{align}$ kannst du weglassen, das ist wie eine Multiplikation mit $\begin{align} 1 \end{align}$ . Du erhälst also $\begin{align} (\mathrm{id}_V-f) \circ f^{n-1} = f^{n-1} \end{align}$ $\begin{align} (\mathrm{id}_V-f) \circ f^{n-2} = f^{n-2}-f^{n-1} \end{align}$ $\begin{align} (\mathrm{id}_V-f) \circ f^{n-3} = f^{n-3}-f^{n-2} \end{align}$ $\begin{align} (\mathrm{id}_V-f) \circ f^{n-4} = f^{n-4}-f^{n-3} \end{align}$ $\begin{align} ... \end{align}$ $\begin{align} (\mathrm{id}_V-f) \circ f^1 = f-f^2 \end{align}$ $\begin{align} (\mathrm{id}_V-f) \circ \mathrm{id}_V = \mathrm{id}_V-f \end{align}$ . Siehst du eine Möglichkeit, dir aus den rechten Seiten $\begin{align} \mathrm{id}_V \end{align}$ zusammenzubauen?
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