Bestimmte Kartenkombinationen in Kartenhand

06.02.2017, 19:38

Zabulon

Bestimmte Kartenkombinationen in Kartenhand

Meine Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer 13er-Hand aus einem regulären 52 Karten Deck ... a) Einen Ass-Vierling zu haben, b) generell mindestens einen Vierling zu haben (egal welchen), c) mind. ein Full-House zu haben( z.B. 5-5-5 8-8), d) mind. eine 5er-Straße zu haben (5 Karten in Folge, nicht zwingend gleicher Farbe), d) alle 13 Handkarten aufsteigend sind (egal welche Farbe, Hauptsache 2-A).

Mich ineressiert die mölichst elegante und logische Herangehensweise.

Meine Ideen:
52 Karten, 4 Farben, 13 Karten(2 bis Ass) jeweils eine Ausführung pro Farbe.

4/52 +3/51 +2/50 +1/49 würde mir die W'keit geben, wenn meine Hand aus nur 4 Karten besteht.
Das mit den 13 Handkarten ist aber bisschen knifflig, vielleicht

dadurch, dass man dieser W'keit (X) die Gegenwahrscheinlichkeit(Y)(nennt man das so?) gegenüberstellt, also X+Y=1 ???

48/52 +47/51 + 46/50 +45/49 +44/48 +43/47 +(...)+1/4 =Y

1-Y=X

Aber geht sicher fixer und eleganter.. auch im Hinblick zu den anderen Kartenkombinationen.
Danke im Voraus Leute!

MfG
Zabulon

06.02.2017, 21:18

HAL 9000

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a) Hypergeometrisches Modell $\begin{align*} \frac{\binom{4}{4}\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}} = \frac{11}{4165} \approx 0.002641 \end{align*}$

b) Betrachte die Ereignisse

$\begin{align*} A_k \end{align*}$ ... Wert $\begin{align*} k \end{align*}$ taucht als Vierer unter den 13 Karten auf

Gemäß Siebformel gilt dann für das gesuchte Ereignis $\begin{align*} B = \bigcup_{k=1}^{13} A_k \end{align*}$

$\begin{align*} P(B) = \binom{13}{1}P(A_1) - \binom{13}{2}P(A_1\cap A_2) + \binom{13}{3}P(A_1\cap A_2\cap A_3) \end{align*}$

$\begin{align*} P(A_1) = \frac{\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}} = \frac{11}{4165} \end{align*}$ kennen wir aus a), analog gilt

$\begin{align*} P(A_1\cap A_2) = \frac{\binom{44}{5}}{\binom{52}{13}} = \frac{11}{6431950} \end{align*}$ und $\begin{align*} P(A_1\cap A_2\cap A_3) = \frac{\binom{40}{1}}{\binom{52}{13}} = \frac{1}{15875338990} \end{align*}$ .

Das ergibt $\begin{align*} P(B) = \frac{1357355571}{39688347475}\approx 0.0342 \end{align*}$ . Die Komplexität bei Frage b) ist also schon deutlich höher als bei a)...

Bei c) ist mir die Definition nicht ganz klar:

Was zählt alles als "mindestens ein Full-House"? Zählen z.B. zwei Drillinge unter den 13 Karten als solches? Oder ein Vierling und ein Paar (der Rest Einzelkarten) ? D.h., reicht es, wenn man unter den 13 Karten fünf auswählen kann, die ein Full-House bilden, auch wenn es eigentlich "mehr" ist (z.B. der Vierling)?

06.02.2017, 22:21

Zabulon

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Ein Full-House ist definiert als Kombination aus genau einem Drilling + ein Pärchen.
Beispiele: 3-3-3-5-5, K-K-K-D-D, 8-8-8-A-A usw.

Ich muss dein Geschriebenes mal eben sacken lassen.

06.02.2017, 22:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zabulon
Ein Full-House ist definiert als Kombination aus genau einem Drilling + ein Pärchen.

Das weiß ich selber. Ich hatte meine Nachfrage schon ein bisschen konkreter formuliert - darauf solltest du eingehen, wenn du dran interessiert bist, dass dich einer weiterhin unterstützt.

06.02.2017, 22:36

Zabulon

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Ob man nun ein Vierling auch hat oder nicht ist nicht relevant, meiner Ansicht nach ist die Bedingung erfüllt sobald ein Full-House gebildet werden kann(auch wenn man ein Vierling dabei 'zerstört'). Deine beiden Fragen würde ich somit bejahen.

06.02.2017, 22:49

HAL 9000

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Tja dann ist die Antwort zu c) einigermaßen komplex: Wahrscheinlichkeit ist $\begin{align*} p=1-\frac{N}{\binom{52}{13}} \end{align*}$ mit

$\begin{align*} N=\left(\sum_{k=0}^6 \binom{13}{k}\binom{13-k}{k}\cdot 4^{13-2k}\cdot 6^k\right) + \binom{13}{1}\binom{12}{10}\cdot 4^{10}\cdot 4^1 + \binom{13}{1}\binom{12}{9}\cdot 4^9 \end{align*}$ .

Erklärung: $\begin{align*} N \end{align*}$ ist die Anzahl aller 13er-Blätter ohne Full-House, darunter

Summand $\begin{align*} k \end{align*}$ zählt die Blätter mit genau $\begin{align*} k \end{align*}$ Zweiern und der Rest Einer, das sind $\begin{align*} 13-2k \end{align*}$ Stück,
der vorletzte Term zählt die Blätter mit genau einem Dreier und der Rest nur Einer, das sind $\begin{align*} 10 \end{align*}$ Stück,
der letzte Term zählt die Blätter mit genau einem Vierer und der Rest nur Einer, das sind $\begin{align*} 9 \end{align*}$ Stück.

Das ergibt $\begin{align*} p=\frac{19191368339}{39688347475}\approx 0.48355 \end{align*}$ .

e) ist einfach, ist oben bei c) schon als Summand $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ enthalten: $\begin{align*} \frac{4^{13}}{\binom{52}{13}} = \frac{4194304}{39688347475} = 0.00010568 \end{align*}$

d) ist einigermaßen heftig: Sowohl eigentliches Ereignis als auch Komplement sind schwer zu fassen als einfach berechenbare Anzahlen. Per Brute-Force ergibt sich Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} \frac{1210261774}{2334608675} \approx 0.5184 \end{align*}$ .

08.02.2017, 15:12

Zabulon

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Vielen lieben Dank, ich versuch's mir nun herzuleiten.

08.02.2017, 15:39

HAL 9000

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Zu d) kann ich allenfalls das verwendete C-Progrämmchen beisteuern, mit dem ich die Brute-Force-Berechnung getätigt habe. Augenzwinkern

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