Eigenräume Polynome Eigenwerte

08.02.2017, 16:01	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenräume Polynome Eigenwerte Gegeben seien der Vektorraum $\begin{align} \mathbb{R}_{\leq 2} \end{align}$ die lineare Abbildung L : $\begin{align} L: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \to \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \end{align}$ sowie die folgenden Bilder von L : $\begin{align} L(x^2+x+1)= -2x^{2}+6x+4 \end{align}$ , $\begin{align} L(x^{2}+1)=-x^{2}-1 \end{align}$ , $\begin{align} L(x+1)= 3x+3 \end{align}$ b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von L_B und L c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der darstellenden Matrix L_B. d) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung L. zu b) Also L_B habe ich bestimmt. Das charakteristische Polynom von L_B stellt auch kein Problem dar. Aber von L schon. zu c) Auch kein Problem. zu d) Weiß ich nicht, wie ich vorangehen soll. Danke. .)
08.02.2017, 17:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eher ein Problem mit allem was zu L_B gehört, weil L_B hier gar nicht definiert wird. Der Vektorraum muss natürlich anders definiert sein, damit die lineare Abbildung darauf definiert werden kann. Hat die Aufgabe keinen Teil a) ?
08.02.2017, 20:45	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid. Ja gibt es. a) Bestimmen sie die darstellende Matrix L_B von L bzgl. der Basis $\begin{align} B=\{x^2+x+1,x^2+1,x+1\} \end{align}$ Und ich habe folgendes raus: $\begin{align} L_B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 &-1 &0 \\ 6 &0 &3\end{pmatrix} \end{align}$
08.02.2017, 22:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix ist genau richtig. Nun gibt es das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} \chi(x)=det(L_B-xE) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , seine Nullstellen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sind die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , und die Kerne von $\begin{eqnarray} L_B-\lambda E \end{eqnarray}$ sind die Eigenräume von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ . Ich verstehe nicht, wieso in der Aufgabe zwischen dem Endomorphismus $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ und seiner Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} L_B \end{eqnarray}$ unterschieden wird. Beispielsweise ist ein Eigenvektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gegeben, wenn gilt $\begin{eqnarray} L(\vec x)=L_B\cdot \vec x=\lambda\cdot \vec x \end{eqnarray}$ . Die Streckung eines Eigenvektors kann doch nicht von der Darstellung abhängen, vielmehr ist das eine tatsächliche Eigenschaft des Endomorphismus ("alternative Fakten" kann, will und werde ich nicht anerkennen ).
10.02.2017, 12:40	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißt das, dass L und L_B was die Eigenwerte und die Eigenräume angeblangt identisch sind?
10.02.2017, 12:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau das will ich damit sagen. Die charakteristischen Polynome, die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Eigenräume von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_B \end{eqnarray}$ sind identisch.
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10.02.2017, 12:48	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Oki. Vielen Dank für deine Hilfe.
10.02.2017, 12:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein wenig Vorsicht ist noch anzuraten. Bei einem Basiswechsel ändert sich die Darstellungsmatrix und es ändern sich die Komponenten der (Eigen-)Vektoren. Zum Beispiel sind in dieser Aufgabe die Eigenpolynome vollständig basisunabhängig festgelegt, sie haben aber in der Standardbasis andere Komponenten als in der Basis B. Vielleicht wollte der Aufgabensteller auf diesen Unterschied abheben.

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