Bedingte Wahrsch/Verteilungsfkt/nochwas

11.02.2017, 21:07

PeterDude

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Bedingte Wahrsch/Verteilungsfkt/nochwas

Meine Frage:
Hey zusammen,

ich hab ein paar Fragen zur Wahrscheinlichkeitstheorie:

1. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ich glaub ich versteh noch nicht ganz, womit ich am Ende rechnen kann.
Bspfrage: Maschine kann mit 95% vorhersagen, dass ein Teil defekt/heile ist (also beides mit 95% Wahrschk richtig vorhergesagt). Desweiteren wissen wir, dass 0,05% aller Teile defekt sind.
Wie hoch ist W, wenn ein Teil, das als defekt gekennzeichnet wird, auch wirklich defekt ist.
Wir sind also hier in Abhängigkeit von zwei Wahrscheinlichkeiten.

Ich habs mit einem Baumdiagramm versucht, aber eine einfache Multiplikation ergibt ja nur Unsinn (theoretisch müsste sie ja recht hoch sein, die W).
Als Formel zur bedingten W haben wir:
$\begin{eqnarray*} P(B|A)=\frac{P(A\cap B}{P(A)} \end{eqnarray*}$
Beim berechnen des Durchschnitts hab ich ein Brett vorm Kopf. Funktioniert also nicht. Irgendwelche Tipps dazu? smile

smile

2.
Wie kann ich eine Zufallsgröße, die als linearer Term gegeben ist, als Verteilungsfunktion ausdrücken?
Bsp: 2X+3
Ich glaube, was mich verwirrt ist, dass dieser Term nicht beschränkt scheint. Das ganze soll aber doch zwischen 0 und 1 liegen oder? (ein Bild von der Verteilungsfunktion hab ich vor Augen, den Sinn auch wohl verstanden, denke ich).

Zusatzfrage dazu: Kann ich aus der Verteilungsfunktion die Verteilungsdichte berechnen UND umgekehrt? Oder geht das nur in eine Richtung?

3.

Eine Aufgabe,bei der ich mir sehr unsicher bin, ob der Ansatz stimmt:

Drei Personen gehen in einem gewissen Zeitraum durch eine Tür mit einer W von 0,9
Die W, dass nicht mehr als fünf Personen durch die Tür gehen, sei 0,3
Wie groß ist W, dass mind 3 und höchstens 5 durch die Tür gehen?

Ansatz: $\begin{eqnarray*} (5über3)*0,3³*0,9² \end{eqnarray*}$
Das wäre mit der Binominalverteilung. Liege da wahrscheinlich (j) voll daneben.

Wäre mir klasse, wenn ihr mir ein paar Tipps geben könntet!

Meine Ideen:
Ich will keine Lösungen haben, nur Schubser in die richtige Richtung.
Danke für die Hilfe! smile

smile

11.02.2017, 21:11

Krischon

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Ich bin der Fragesteller. Hab nach Abschluss der Frage meinen Zugang wiedergefunden. yey

Bei 3. der Ansatz war eine Binominalverteilung mit 5 über 3 am Anfang usw. Das wirkt aber eh falsch...

11.02.2017, 21:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von PeterDude
Zusatzfrage dazu: Kann ich aus der Verteilungsfunktion die Verteilungsdichte berechnen UND umgekehrt? Oder geht das nur in eine Richtung?

Sofern die Zufallsgröße überhaupt stetig verteilt ist, gilt $\begin{eqnarray*} f_X(x) = F_X'(x) \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Umgekehrt gilt $\begin{eqnarray*} F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t)~ \dd t \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Der Rest von deinem 2. mit deinem "Zufallsgröße als linearer Term" ist total unverständlich (schon in der Struktur der Fragestellung): Das hingeknallte 2x+3 ohne Kontext kann auf vielerlei Wege interpretiert werden. unglücklich

unglücklich

12.02.2017, 01:11

Krischon

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Cool. Das erste ist ja schonmal praktisch. Eine Richtung geht immer, andere Richtung fast immer smile

smile

Ich formuliere nochmal am Beispiel:

Drücke die Verteilungsfunktionen der Zufallsgrößen 2X+3 und -4X jeweils durch F(X) aus. Dabei ist X eine stetige Zufallsgröße. Mehr kann ich nicht geben smile

smile

Danke!

12.02.2017, 08:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Krischon
Drücke die Verteilungsfunktionen der Zufallsgrößen 2X+3 und -4X jeweils durch F(X) aus. Dabei ist X eine stetige Zufallsgröße.

Na da ist doch schon mal was - oben hast du davon nur ca. 1/3 genannt, was derart kastriert dann nichtssagend war.

Es ist also Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_Y(t) = P(Y\leq t) \end{align*}$ für die Zufallsgröße $\begin{align*} Y=2X+3 \end{align*}$ zu bestimmen, wobei die Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_X(t) = P(X\leq t) \end{align*}$ gegeben ist. Einfach das definierende Ereignis umformen:

$\begin{align*} F_Y(t) = P(Y\leq t) = P(2X+3\leq t) = P(2X\leq t-3) = P\left(X\leq \frac{t-3}{2}\right) = F_X\left(\frac{t-3}{2}\right) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

Das war's. Und bei $\begin{align*} Y=-4X \end{align*}$ geht es ähnlich.

12.02.2017, 09:37

Krischon

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Klasse. Die Idee ist ja fast banal smile

smile

Ideen zu den anderen Fragen?

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12.02.2017, 12:31

HAL 9000

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Vorher noch: Was hast du denn bei $\begin{align*} Y=-4X \end{align*}$ raus? Wenn ich sage "ähnlich", dann heißt das nicht "genauso", es lauert noch eine kleine Falle...

12.02.2017, 14:19

Krischon.

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F(X)=-t/4

Meinst du der Definitionsbereich müsste eingeschränkt werden? Oder bin ich schon beim Umformen in die Falle getappt? smile

smile

12.02.2017, 14:47

HAL 9000

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$\begin{align*} F(X) = -\frac{t}{4} \end{align*}$ ist sowieso undiskutabel falsch. Aber auch $\begin{align*} F_{-4X}(t) = F_X\left(-\frac{t}{4}\right) \end{align*}$ ist falsch.

Richtig ist:

$\begin{align*} F_{-4X}(t) = P(-4X\leq t) = P\left(X{\color{red}\geq} -\frac{t}{4}\right) \stackrel{!}{=} 1-P\left(X<-\frac{t}{4}\right) \stackrel{St}{=} 1-P\left(X\leq -\frac{t}{4}\right) = 1-F_X\left(-\frac{t}{4}\right) \end{align*}$

Gleichheit $\begin{align*} \stackrel{St}{=} \end{align*}$ gilt so nur für stetige Zufallsgrößen, deswegen ist hier diese (hier ja geltende) Voraussetzung wichtig.

12.02.2017, 15:24

Krischon.

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Autsch. Danke!
Gut, das werde ich mir jetzt nochmal an ein paar Beispielen angucken.

3. hat sich übrigens erledigt. Nur die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind in der Rechnung noch nicht klar.
Wie müsste ich in dem Beispiel beginnen?

12.02.2017, 15:59

Krischon.

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Sorry, wieder ungenau.. smile

smile

Ich bräuchte noch einen anstubser zur 1. Frage smile

smile

12.02.2017, 16:04

HAL 9000

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Ich bin von der Formulierung bei 3. verwirrt - ist das der originale Aufgabentext? Insbesondere vermute ich, dass das ziemlich missverständlich formulierte

Zitat:

Original von PeterDude
Drei Personen gehen in einem gewissen Zeitraum durch eine Tür mit einer W von 0,9

eigentlich

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei Personen in einem gewissen Zeitraum durch eine Tür gehen, ist 0,9 .

meint.

12.02.2017, 16:40

Krischon.

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Da hast du vollkommen recht und auch die korrekte Schreibweise aufgezeichnet.
Da bin ich aber auch schon auf die Lösung gekommen, die korrekt ist.

Der Weg der 1. Aufgabe hingegen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2017, 16:47

HAL 9000

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Zu 1) Zunächst mal solltest du sagen, welche Ereignisse du mit $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ meinst. Ein Schritt, der gern vergessen wird, aber einfach dazugehört. Beispielsweise könnte man hier

$\begin{align*} A \end{align*}$ ... Teil ist defekt

$\begin{align*} B \end{align*}$ ... Maschine stuft das Teil als defekt ein

betrachten. Dann lassen sich aus dem Aufgabentext die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(A)=0.0005 \end{align*}$ sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(B \mid A) = 0.95 \end{align*}$ und $\begin{align*} P(B^c \mid A^c) = 0.95 \end{align*}$ ablesen. Gesucht ist dann $\begin{align*} P(A \mid B) \end{align*}$ .

12.02.2017, 19:21

Krischon

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Da fällt mir ja erstmal der Satz von Bayes ein:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

Kann ich hier den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden, um P(B) zu berechnen??

$\begin{eqnarray*} P(B)=P(B|A)*P(A)+P(B|A^\perp )*P(A^\perp ) \end{eqnarray*}$ (Komplement als Eresatz für das hochgestellte c smile

smile

Ich weiß nur nicht, wie ich auf P(B|Ac) komme... :/

12.02.2017, 21:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Krischon
Da fällt mir ja erstmal der Satz von Bayes ein:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

Kann ich hier den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden, um P(B) zu berechnen??

Ja. Nennt man in dieser Kombination dann auch gern Bayessche Formel.

Zitat:

Original von Krischon
Ich weiß nur nicht, wie ich auf P(B|Ac) komme...

$\begin{eqnarray*} P(B \mid A^c) = 1-P(B^c \mid A^c) \end{eqnarray*}$

12.02.2017, 23:08

Krischon

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Super.

Dann kriege ich raus: P(A|B)=0,0095.
Also P(A|B)=0,95*0,0005/0,05

Ist das nicht etwas niedrig?
Für P(B) hab ich 0,95*0,0005+0,05*0,9995 gerechnet.

13.02.2017, 08:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Krischon
Dann kriege ich raus: P(A|B)=0,0095.

Auf vier Nachkommastellen gerundet sind es ehe 0,0094, aber sonst ist es durchaus richtig. Das Gros der als defekt eingestuften Teile stammt eben tatsächlich von intakten Teilen.

13.02.2017, 10:28

Krischon

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Herzlichen Dank für Deine Mühen! smile

smile

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