Zerlegung einer endlich erzeugten abelschen Gruppe

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S.H.94 Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung einer endlich erzeugten abelschen Gruppe
Meine Frage:
Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der vorliegenden Aufgabe.

Meine Ideen:
Ich habe leider gar keine Idee, würde die Aufgabe aber gerne lösen und verstehen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wieviele Elemente der Ordnung 2 hat eine zyklische Gruppe gerader Ordnung ? Wie kann man diese miteinander kombinieren ?
 
 
S.H.94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass eine endliche zyklische Gruppe mit n Elementen die Ordnung n hat.
Also sollten wohl die zerlegten Gruppe alle 2 Elemente der Ordnung 2 haben, oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Eine zyklische Gruppe der Ordnung n hat für jeden Teiler d|n genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung d. Damit sind alle Untergruppen erfasst.
S.H.94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß leider nicht wie mir das weiterhelfen soll..
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Elemente hat die zyklische Gruppe der Ordnung 2 ? Welche Ordnung haben diese Elemente ?
S.H.94 Auf diesen Beitrag antworten »

Sie hat 2 Elemente mit jeweils Ordnung 2 & 1 ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Also hat jede gerade zyklische Gruppe [latex]C_k,k=1,...,s[/latex] genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung 2, die von dem Element [latex]a_k,k=1,...,s[/latex] erzeugt wird.
Damit ist meine allererste Frage beantwortet. Beantworte die zweite. Tipp: Orientiere dich an den beiden Gruppen der Ordnung 4.
S.H.94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte gesagt, dass diese Elemente die Ordnung 2 oder 1 haben, aber ich steh grade echt auf dem Schlauch.
S.H.94 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder ging es jetzt um das Kombinieren?

Die kann ich s-mal miteinander kombinieren, oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beschreibe die beiden Gruppen der Ordnung 4. Sind sie abelsch ? Wenn ja, wie sehen die Zerlegungen in zyklische Gruppen aus ? Löse die Aufgabe für diese beiden (trivialen) Gruppen. Dann siehst du das Prinzip, und kannst daraus einen allgemeinen Beweis machen.
S.H.94 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, ich komme nicht drauf. Dies sollte eigentlich nur eine Aufgabe zur Klausurvorbereitung sein, die mich interessiert hat und ich in einem Buch gefunden habe und ich gerne den Beweis mal gesehen hätte.
Aber ich komme leider nicht darauf wie ich das beweisen soll. Vielleicht kannst du es mir noch zeigen, wenn nicht trotzdem danke.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Als anschauliches Besipiel betrachten wir die Gruppen der Ordnung 4. Es gibt die zyklische Gruppe [latex]Z_4=C_1[/latex] und die Kleinsche Vierergruppe [latex]Z_2\times Z_2=C_1\times C_2[/latex], offenbar beide abelsch. Die [latex]Z_4[/latex] haben wir schon besprochen, sie enthält genau eine [latex]Z_2[/latex], also genau ein Element der Ordnung 2 (passt wegen s=1).
Die [latex]Z_2\times Z_2[/latex] enthält in jeder der beiden [latex]Z_2[/latex] eine Element der Ordnung 2, wir nennen sie [latex]a_1, a_2[/latex], und ihr Produkt ist bekanntlich ein Element der Ordnung 2 in der dritten [latex]Z_2 < V4[/latex]. Wie es sein muss, gibt es also [latex]2^s-1=2^2-1=3[/latex] Elemente der Ordnung 2.

Allgemein kombiniert man die Elemente der Ordnung 2, indem man sie zu Produkten zusammenfasst. Kombinatorisches "Gefummel" ergibt die gewünschte Aussage.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du begründen möchtest, wie das funktioniert, brauchst du die Begriffe: abelsche Gruppe, direkte Erzeugung, Binomialkoeffizienten (ohne s über 0), Zeilensumme im Pascalschen Dreieck.
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