Fixpunkt rechnerisch bestimmen

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13.02.2017, 19:20	aapdktda	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt rechnerisch bestimmen Meine Frage: Es geht um Abbildungen vom Körper der komplexen in den Körper der komplexen Zahlen. Es ist eine Funktion gegeben, wonach jetzt bestimmt werden soll, welcher Kongruenzabbildungs-Typ diese Funktion beschreibt (mit passenden "Eigenschaften: Drehzentrum/Schubspiegelachse/etc...). g(z) = $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ (1-i) (z+2i) Meine Ideen: 1. "Teil" der Funktion mit z betrachten: z+2i beschreibt eine Verschiebung (K+) 2. "restlicher Teil": $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ (1-i) = $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} } - \frac{a}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ i davon den Betrag ergibt dann 1, somit wird eine Drehnung (K+) beschrieben 3. K+ mal K+ = K+, somit kann diese Funktion nur eine Verschiebung oder eine Drehung beschreiben. 4. nach Fixpunkten suchen, somit wäre Drehung "bewiesen": das ist jetzt etwas blödes rumfriemeln...aber meine Frage ist, worauf will ich hinaus. Was muss ich am Ende herausbekommen, sodass ich weiß, dass dieser Term ein Fixpunkt ist? Ich habe viele Zeilen hier stehen, kein schönes Endergebnis und weiß nicht, ob mir das jetzt sagt, es gibt einen Fixpunkt oder nicht. Zusätzliche Frage: Was ist wenn bei Punkt 2 der Betrag nicht gleich 1 ist. Wäre dann damit schon "bewiesen" dass g(z) eine Verschiebung ist?
13.02.2017, 22:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Fixpunkt liegt genau dann vor, wenn $\begin{eqnarray} g(z)=z \end{eqnarray}$ ist. Anscheinend hast du die Reihenfolge von Translation und Drehung vertauscht, denn $\begin{eqnarray} g(z)=az+b \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} \|a\|=1 \end{eqnarray}$ eine Drehung mit anschließender Verschiebung, wobei hier im Besipiel $\begin{eqnarray} b \ne 2i \end{eqnarray}$ ist. Zusätzliche Antwort: $\begin{eqnarray} z\mapsto az \end{eqnarray}$ ist im allgemeinen eine Drehstreckung. (siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biustransformation , Elementartypen)
14.02.2017, 14:01	aapdktda	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist klar, dass ein Fixpunkt nach der Abbildung gleich bleiben muss. Nur wie kann ich das rechnersich herausfinden? In diesem Beispiel: g (z)= z $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ (1-i) (z+2i) = z ... z = -i + $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \end{eqnarray}$ Laut Lösung zeigt dies, dass ein Fixpunkt vorliegt... übersehe ich was?
14.02.2017, 14:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte es noch etwas schöner schreiben, d.h., den Bruch beseitigen: $\begin{align} z=1+\sqrt{2}-i \end{align}$ Aber ja, das ist der Fixpunkt von $\begin{align} g \end{align}$ .
14.02.2017, 14:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Fixpunkt, ist doch prima.
14.02.2017, 14:26	aapdktda	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist nicht klar, woran ich erkenne, dass das ein Fixpunkt ist. Wie würde ich herausfinden, dass es kein Fixpunkt ist?
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14.02.2017, 14:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie eine seltsam triviale Frage nach all den Vorbetrachtungen: Man setzt $\begin{align} z \end{align}$ in $\begin{align} g \end{align}$ ein. Wenn dann $\begin{align} g(z)=z \end{align}$ gilt, ist es ein Fixpunkt - gilt hingegen $\begin{align} g(z)\neq z \end{align}$ , so ist es kein Fixpunkt.
14.02.2017, 14:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Elvis Ich schätze, aapdktda ist vom gegebenen Term ausgegangen: $\begin{align} z \mapsto w = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 - \operatorname{i} \right) \cdot \left( z + 2 \operatorname{i} \right) \end{align}$ Dann hat er durchaus richtig begonnen: $\begin{align} z \mapsto s = z + 2 \operatorname{i} \ \ \rightarrow \ \ \text{Verschiebung um 2 in imaginärer Richtung} \end{align}$ $\begin{align} \eta = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 - \operatorname{i} \right) \end{align}$ Trägt man $\begin{align} 1 - \operatorname{i} \end{align}$ als Pfeil vom Ursprung aus ab, so erkennt man einen 45°-Winkel zur reellen Achse. Der Pfeil zeigt in den IV. Quadranten. Der Faktor $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$ normiert den Vektor. Oder trigonometrisch ausgedrückt: $\begin{align} \eta = \operatorname{e}^{- \operatorname{i} \frac{\pi}{4}} \end{align}$ Die Multiplikation mit $\begin{align} \eta \end{align}$ entspricht daher einer 45°-Drehung im Uhrzeigersinn um den Ursprung. $\begin{align} s \mapsto w = \eta \cdot s \ \ \rightarrow \ \ \text{45-Grad-Drehung im Uhrzeigersinn} \end{align}$ Damit setzt sich die Abbildung tatsächlich aus einer Verschiebung mit anschließender 45°-Drehung zusammen. Und für den Fixpunkt gilt: $\begin{align} \eta \cdot \left( z + 2 \operatorname{i} \right) = z \ \ \Leftrightarrow \ \ \eta \cdot z + \eta \cdot 2 \operatorname{i} = z \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( 1 - \eta \right) \cdot z = 2 \operatorname{i} \eta \ \ \Leftrightarrow \ \ z = \frac{2 \operatorname{i} \eta}{1 - \eta} = \sqrt{2} + 1 - \operatorname{i} \end{align}$
14.02.2017, 14:53	aapdktda	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht habe ich momentan einen falschen Betrachtungspunkt... ich dachte, ich muss herausfinden ob die Abbildung eine Drehung oder eine Verschiebungs ist. Und da wir das herausfinden wollen, überprüfe ich mal, ob es einen Fixpunkt gibt. Diese Lösung erschließt sich mir nicht als Fixpunkt.... ich sehe den Bezug zu g(z) nicht... Und was wäre, wenn eine andere Abbildung überprüfe (diese Abbildung ist eine Verschiebung) und durch den Fixpunkt beweisen will, dass es eine Verschiebung ist, was würde dann als Ergebnis herauskommen?
14.02.2017, 14:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Anhang habe ich eine dynamische Zeichnung für dich. Ziehe am Punkt $\begin{align} z \end{align}$ und beobachte $\begin{align} s \end{align}$ (nach der Verschiebung) und $\begin{align} w \end{align}$ (nach der Drehung). Ziehe $\begin{align} z \end{align}$ in den Fixpunkt $\begin{align} f \end{align}$ . Zum Öffnen der Datei verwende Euklid.
14.02.2017, 15:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Drehung um den Punkt $\begin{align} f \end{align}$ kann geschrieben werden als $\begin{align} z \mapsto w = \vartheta \left( z - f \right) + f \end{align}$ Hierin ist $\begin{align} \vartheta = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \varphi} \end{align}$ vom Betrag 1 und $\begin{align} \varphi \end{align}$ der Drehwinkel. Ausmultiplizieren und dann einen Koeffizientenvergleich durchführen: $\begin{align} \vartheta z + f - \vartheta f = \eta z + 2 \operatorname{i} \eta \end{align}$ Man erhält die Forderungen $\begin{align} \text{(1)} \ \ \vartheta = \eta \end{align}$ $\begin{align} \text{(2)} \ \ f - \vartheta f = 2 \operatorname{i} \eta \end{align}$ $\begin{align} f \end{align}$ ist der Fixpunkt, $\begin{align} \eta \end{align}$ wie in meinem vorigen Beitrag. Sind beide Gleichungen mit demselben $\begin{align} \vartheta \end{align}$ erfüllbar, liegt eine Drehung vor.
14.02.2017, 15:47	aapdktda	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Mühe und die Darstellung!!! ... ich denke, ich habe jetzt verstanden, wie ich meine Sichtweise ändern muss! Danke

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