Darstellungsmatrix Polynome

14.02.2017, 08:37

Tobias83

Darstellungsmatrix Polynome

Hallo Zusammen ich will folgende Aufgabe lösen:
Es sei $\begin{eqnarray*} D: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung, die jedem Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ seine Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ zuordnet mit der Basis $\begin{eqnarray*} (x^3+x^2+x+1,x^2+x+1,x+1,1) \end{eqnarray*}$

Meine Idee für die Lösung:

$\begin{eqnarray*} d(1+x+x^2+x^3) \rightarrow 1+2x+3x^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1*1+2*x+3*x^2+0*x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(1+x+x^2) \rightarrow 1+2x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1*1+2*x+0*x^2+0*x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(1+x) \rightarrow 1+2x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1*1+0*x+0*x^2+0*x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(1) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0*1+0*x+0*x^2+0*x^3 \end{eqnarray*}$

Daraus sollte sich nun die Matrix

$\begin{eqnarray*} M(D)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1&1 \\ 0 & 0 & 2&2 \\ 0 & 0 & 0&3\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

entstehen.

Ist dies richtig oder habe ich da einen Denkfehler?

14.02.2017, 08:56

klarsoweit

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RE: Darstellungsmatrix Polynome

Zitat:

Original von Tobias83
$\begin{eqnarray*} d(1+x+x^2+x^3) \rightarrow 1+2x+3x^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1*1+2*x+3*x^2+0*x^3 \end{eqnarray*}$

Hier hast du den Bildvektor nicht als Linearkombination von Basisvektoren aus der angegebenen Basis dargestellt. Das gilt auch für die anderen Bildvektoren. Außerdem hast du die Reihenfolge der Spalten in der Abbildungsmatrix vertauscht.

14.02.2017, 09:26

Tobias83

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Ich nennen die Basisvektoren mal:
$\begin{eqnarray*} b_1=x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=x^2+x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_4=1 \end{eqnarray*}$

Dann lassen sich
$\begin{eqnarray*} d(1+x+x^2+x^3) \rightarrow 1+2x+3x^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 0*b_1+3*b_2-1*b_3-1*b_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(1+x+x^2) \rightarrow 1+2x \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 0*b_1+0*b_2+2*b_3-1*b_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(1+x) \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 0*b_1+0*b_2+0*b_3+1*b_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(1) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 0*b_1+0*b_2+0*b_3+0*b_4 \end{eqnarray*}$

darstellen. Die Faktoren vor den $\begin{eqnarray*} b_{i's} \end{eqnarray*}$ sind meine Einträge in der Abbildungsmatrix.

Aber was meinst Du damit ich habe die Reihenfolge der Spalten vertauscht

14.02.2017, 09:39

klarsoweit

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Der Koordinatenvektor des Bildes des ersten Urbildvektors kommt in die erste Spalte usw.

14.02.2017, 09:53

Tobias83

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Also ergibt sich folgende Matrix wenn ich keinen Fehler gemacht habe
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0&0 \\ 3 & 0 & 0 &0\\ -1 & 2 & 0&0\\-1&-1&1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.02.2017, 10:12

klarsoweit

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Ja.

14.02.2017, 10:56

Tobias83

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Für $\begin{eqnarray*} D \circ D \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} D \circ D (x^3+x^2+x+1) \rightarrow 6x+2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0*b_1+0*b_2+6*b_3-4b_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D \circ D (x^2+x+1) \rightarrow 2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0*b_1+0*b_2+0*b_3+2b_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D \circ D (x+1) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0*b_1+0*b_2+0*b_3+0b_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D \circ D (1) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0*b_1+0*b_2+0*b_3+0b_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M(D \circ D)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 6 & 0 &0&0\\-4&2&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig?

14.02.2017, 11:00

klarsoweit

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Ja. Zur Kontrolle: es müßte $\begin{eqnarray*} M(D \circ D) = M(D) \cdot M(D) \end{eqnarray*}$ sein. smile

14.02.2017, 15:17

Tobias83

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Eine Frage hab ich zu der Aufgabe jetzt doch noch.
Denn wenn ich eine der matrizen mit einem Element der Basis mulitpliziere kommt nicht das gewünschte Bild raus. Woran liegt das?

14.02.2017, 15:43

klarsoweit

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Da solltest du dir nochmal grundlegende Dinge zur Handhabung einer Abbildungsmatrix anschauen. Wenn du von einem Vektor v das Bild D(v) bestimmen willst, mußt du den Koordinatenvektor von v zur Basis des Urbildraums bestimmen und diesen dann mit der Abbildungsmatrix M(D) multiplizieren. Das Ergebnis ist der Koordinatenvektor des Bildes D(v) bezüglich der Basis des Bildraums. Augenzwinkern

14.02.2017, 18:50

Tobias83

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Ich habe mir das Skript nochmal angeschaut.
Wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe sieht es wie folgt aus:
Die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} M(D) \end{eqnarray*}$ bildet auf Koordinaten bzgl der Basis des bildraumes ab.
Und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ würde auf die Bilder abbilden.

Ist es so richtig?

15.02.2017, 09:31

klarsoweit

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Nun ja, die Matrix M(D) bildet gewissermaßen auch auf die Bilder ab, nämlich auf die Koordinaten der Bilder. smile

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