Fußballtraining

14.02.2017, 09:09

gbucher

Fußballtraining

Im Dorfverein "SV Hölli" gibt es 15 Spieler, die in der ersten Mannschaft spielen und 25 Spieler, die von ihrem Potential her der zweiten Mannschaft zugeordnet sind und eine nir sehr unregelmäßige Trainingsbeteiligung aufweisen. Beim ersten Training nach dem Spiel am Wochenende kommen erfahrungsgemäß 80% der Spieler der ersten und 20% der Spieler der zweiten Mannschaft zum Training. Die Entscheidung, ob ein Spieler ins Training kommt, treffen die Spieler unabhängig voneinander.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Training nach dem Wochenendspiel mindestens 10 Spieler der ersten und höchstens 6 Spieler der zweiten Mannschaft erscheinen.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 35 Spieler beim Training erscheinen ?

Diese Aufgabe kam von einem meiner Nachhilfe-Schüler. Frage a) konnte geklärt werden. Bei Frage b) war ich der Meinung, dass diese so nicht zu lösen sei. Wer kann uns helfen ?

14.02.2017, 10:06

HAL 9000

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RE: Fußballtraining

Zitat:

Original von gbucher
Bei Frage b) war ich der Meinung, dass diese so nicht zu lösen sei.

Was heißt so?

Natürlich ist die Aufgabe lösbar. Wenn wir mit $\begin{align*} X_1 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} X_2 \end{align*}$ die Anzahlen der zum Training erscheinenden Spieler der ersten bzw. zweiten Mannschaft bezeichnen, dann wissen wir $\begin{align*} X_1\sim B(15,0.8) \end{align*}$ und $\begin{align*} X_2\sim B(25,0.2) \end{align*}$ , diese Binomialverteilungen hast du ja vermutlich bei a) auch schon verwendet.

Bei b) geht es nun um die Verteilung der Summe $\begin{align*} X=X_1+X_2 \end{align*}$ , und die knackt man per totaler Wahrscheinlichkeit

$\begin{align*} P(X\geq 35) = \sum_{k=10}^{15} P(X_1=k,X_1+X_2\geq 35) = \sum_{k=10}^{15} P(X_1=k,X_2\geq 35-k)= \sum_{k=10}^{15} P(X_1=k)P(35-k\leq X_2\leq 25) \end{align*}$ .

Warum fange ich die Summe erst bei $\begin{align*} k=10 \end{align*}$ an? Nun, wenn 9 oder weniger der ersten Mannschaft kommen, dann kann man ja selbst bei den maximal 25 kommenden Spielern der zweiten Mannschaft nicht mehr die Mindestanzahl 35 erreichen.

15.02.2017, 10:36

klauss

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RE: Fußballtraining
Da es hier noch nicht weitergegangen ist, stell ich mal meinen Vorschlag rein, den ich gestern schon vorbereitet hatte.
Ich würde die Aufgabe spontan umformulieren zu "Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 5 Spieler nicht erscheinen".
Dann kann man die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Auswahlmöglichkeiten von genau 0, 1, 2, ..., 5 Spielern aus zwei Mannschaften (0/0, 1/0, 0/1, 2/0, 1/1, 0/2 usw.) nacheinander formulieren und aufsummieren. Ist etwas Schreibarbeit (mehr als HALs Methode?), aber als Übung für Schüler geeignet.
Totale Wahrscheinlichkeit kann man bei Schülern auch nicht allgemein voraussetzen.

15.02.2017, 10:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Dann kann man die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Auswahlmöglichkeiten von genau 0, 1, 2, ..., 5 Spielern aus zwei Mannschaften (0/0, 1/0, 0/1, 2/0, 1/1, 0/2 usw.) nacheinander formulieren und aufsummieren.

Ok, statt $\begin{align*} X_1,X_2 \end{align*}$ kann man $\begin{align*} Y_1=15-X_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} Y_2=25-X_2 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} Y=Y_1+Y_2 \end{align*}$ betrachten, dann lautet

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} P(X\geq 35) = \sum_{k=10}^{15} P(X_1=k,X_1+X_2\geq 35) = \sum_{k=10}^{15} P(X_1=k,X_2\geq 35-k)= \sum_{k=10}^{15} P(X_1=k)P(35-k\leq X_2\leq 25) \end{align*}$ .

entsprechend umformuliert

$\begin{align*} P(Y\leq 5) = \sum_{k=0}^{5} P(Y_1=k)P(Y_2\leq 5-k) = \sum_{k=0}^{5} \sum_{l=0}^{5-k} P(Y_1=k)P(Y_2=l) \end{align*}$

Weiß jetzt nicht, was daran substanziell anders sein soll: Die Zahlen $\begin{align*} k,l \end{align*}$ sind kleiner, das ist aber auch alles. Die auftretenden Wahrscheinlichkeiten in der Summe/Doppelsumme sind dieselben wie oben, was die numerischen Werte betrifft.

Zitat:

Original von klauss
Totale Wahrscheinlichkeit kann man bei Schülern auch nicht allgemein voraussetzen.

Meine Herleitung wird nicht dadurch komplizierter oder gar unzumutbar, weil ich zusätzlich (d.h. verzichtbar) angedeutet habe, dass es sich hierbei um die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit handelt.

Merkwürdigerweise habe ich den Effekt schon oft hier im Board erlebt: Man merkt zusätzlich an, dass es sich um diesen jenen Begriff handelt, schon geht das Gejammer los "das haben wir noch nicht gehabt, das kennen wir nicht - nein, dann besser nicht so". Ich bin nur überrascht, das diesmal von einem fachkundigen zu hören (na Ok, nicht gleich als Gejammer).

Ich hätte auch synonym hier sagen können "Fallunterscheidung", denn das ist es ja, und es ist auch genau das, was du mit deiner Paaraufzählung machst.

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