Spann

14.02.2017, 13:49	benny1017	Auf diesen Beitrag antworten »
Spann Meine Frage: Hallo, ich schreibe nächste Woche meine Modulprüfung in Lineare Algebra 1 und habe noch ein Problem mit der folgenden Aufgabe. Sei (v1,?,vn) eine Vektorenfamilie in einem K-Vektorraum V und sei v?V. Dann gilt: v?span(v1,?,vn) <=> span(v1,..,vn,v) Vielen Dank für eure Hilfe Meine Ideen: Leider habe ich auch nicht wirklich eine Idee wie ich geschickt vorgehen kann.
14.02.2017, 13:55	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spann Bitte überprüfe deinen Text und mache ihn lesbar. Kontrolliere auch die rechte Seite von dem Äquivalenzpfeil. Dort steht keine Aussage. Danke.
14.02.2017, 14:04	benny1017	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spann Sorry für die Schreibweise. Irgendwie bekomm ich das mit den Indizes und Elementzeichen einfach nicht hin^^ Sei (v1,..,vn) eine Vektorenfamilie in einem K-Vektorraum V und sei v Element aus V. Dann gilt: v ist Element aus span(v1,..,vn) <=> span(v1,..,vn)=span(v1,..,vn,v)
14.02.2017, 14:34	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spann Nun ja, prinzipiell sind da zwei Richtungen zu zeigen: 1. v ist Element aus span(v1,..,vn) ==> span(v1,..,vn)=span(v1,..,vn,v) 2. v ist Element aus span(v1,..,vn) <== span(v1,..,vn)=span(v1,..,vn,v) Und das sollte wohl machbar sein.
14.02.2017, 15:17	benny1017	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spann ich habe eine Idee '=>' da v ist element aus span(v1,..,vn) ist es linearkombination aus diesen Vektoren. sei nun w beliebig element aus (v1,...,vn,v) dann ist w=span(v1,..vn,)+µv. jetzt kann ich v durch spann(v1,..vn) ersetzen und nach Umsortierung der Skalare erhalte ich dann w=spann(v1,..,vn). da w beliebig gilt also spann(v1,..,vn)=span(v1,..,vn,v) ist jetzt zwar nur eine Skizze, aber ist der Gedanke richtig? Danke für die Hilfe:-)
14.02.2017, 15:37	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spann Der Grundgedanke ist prinzipiell ok. Bei der Richtung "=>" mußt du diese beiden Mengenbeziehungen beweisen: a) $\begin{eqnarray} span(v_1,..,v_n) \subseteq span(v_1,..,v_n,v) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} span(v_1,..,v_n,v) \subseteq span(v_1,..,v_n) \end{eqnarray}$ Der erste Teil a ist trivial und zum zweiten Teil hast du dir ja schon Gedanken gemacht. Allerdings mußt du da noch formal nachbessern. Beispielsweise geht nicht "w=span(v1,..vn,)+µv". Besser ist: $\begin{eqnarray} w \in span(v_1,..,v_n,v) \Leftrightarrow w = (\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot v_i ) + \mu \cdot v \end{eqnarray}$
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