Isomorphie Beweis

15.02.2017, 17:54	Tobias83	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie Beweis Es sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein K-Vektorraum der Dimension $\begin{eqnarray} dim(V)=n <\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ die Menge aller seiner Untervektorräume. Wir betrachten auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ die Relation "ist isomorph zu", notiert wie üblich als $\begin{eqnarray} U_1 \cong U_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_1,U_2 \in U \end{eqnarray}$ a) Geben sie die Definition der Gruppe GL(V) an b)Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray} U_1,U_2 \in U \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} U_1 \cong U_2 \Leftrightarrow \exists F \in GL(V): F(U_1)=U_2 \end{eqnarray}$ c) Zeigen Sie Unterverwendung von b), dass $\begin{eqnarray} \cong \end{eqnarray}$ eine Äquivalenzrelation ist. zu a) Eine Matrix heißt regulär, wenn sie quadratisch ist, also eine n × n-Matrix fur passendes ¨ n, und ihr Rang größtmöglich, also gleich n ist. zu b) " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} U_1 \cong U_2 \Rightarrow Dim(U_1)=Dim(U_2) \Rightarrow \end{eqnarray}$ [/latex] es existiert eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray} U_1 \rightarrow U_2 \end{eqnarray}$ Sei nun F bjjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Dim(Kern(F))=0 und Rang(F)=Dim(Bild(F))=Dim( $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ )=Dim( $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ F hat in $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ vollen Rang insbesondere keine 0-Spalte $\begin{eqnarray} \Rightarrow F \in GL(V) \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} F \in GL(V) \Rightarrow \end{eqnarray}$ F hat vollen Rang insbesondere keine 0-SPalte $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ F ist bijektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Dim(Kern(F))=0 und Rang(F)=Dim(Bild(F))=Dim( $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ )=Dim( $\begin{eqnarray} U_1) \Rightarrow Dim(U_1)=Dim(U_2) \Rightarrow U_1 \cong U_2 \end{eqnarray}$ zu c) reflexiv: $\begin{eqnarray} U_1 \cong U_1 \end{eqnarray}$ trivial da es immer eine bijektive Abbildung von einem Vektorraum in sich selbst gibt. symetrisch: $\begin{eqnarray} U_1 \cong U_2 \Rightarrow U_2 \cong U_1 \end{eqnarray}$ folgt direkt aus der Existenz einer bijektiven Abbildung zwischen den Vektorräumen transitiv: $\begin{eqnarray} U_1 \cong U_2 und U_2 \cong U_3 \Rightarrow U_1 \cong U_3 \end{eqnarray}$ es gilt $\begin{eqnarray} dim(U_1)=dim(U_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim(U_2)=dim(U_3) \Rightarrow dim(U_1)=dim(U_2)=dim(U_3) \Rightarrow dim(U_1)=dim(U_3) \Rightarrow U_1 \cong U_3 \end{eqnarray}$ Also transitiv Kann man dies so schreiben?
18.02.2017, 09:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition der Relation (auf M oder auf U ) ist chaotisch, weil völlig unklar bleibt, was unter der "üblichen" Isomorphie verstanden wird. Daher kann man nur raten, was mit den nachfolgenden Schritten gemeint ist. Auch der Zusammenhang zwischen Abbildungen und Matrizen, Rang und Dimension bleibt in der Darstellung sehr undeutlich.

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