Algebraische Struktur (Ring)

19.02.2017, 00:07

razzbs

Algebraische Struktur (Ring)

Hey Leute, ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und weiß nicht so richtig, wie ich da ran gehen soll.

Folgende Aufgabe ist gestellt:

Gegeben sei der Ring $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} {a + 2b * \sqrt{-2} | a,b \in Z} \end{eqnarray*}$ (Z = ganze Zahlen).

1. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zusammen mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation aus $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ (komplexe Zahlen) ein Ring ist.

Meine Idee ist, zu zeigen, dass ein Struktur aus $\begin{eqnarray*} (C,+,*) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist (durch Zeigen der Erfüllung der Axiome - Assoziativität, neutrales Element, ... etc). Allerdings störe ich mich an dem Ring T. Wie kann ich diese da reinbringen bzw. verknüpfen?

Ich hoffe ihr könnt mir dabei weiterhelfen smile

Viele Grüße

Chris

EDIT: Entschuldige mich vielmals. Ich habe übersehen (:hammer smile

, dass es die Bereiche Schulmathematik und Hochschulmathematik gibt. Ich bitte daher euch Moderatoren, freundlicherweise, diesen Beitrag in die Hochschulmathematik / Algebra - Abteilung zu verschieben smile

19.02.2017, 06:23

Hdd

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Zitat:

Folgende Aufgabe ist gestellt:

Gegeben sei der Ring $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} {a + 2b * \sqrt{-2} | a,b \in Z} \end{eqnarray*}$ (Z = ganze Zahlen).

1. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ [...] ein Ring ist.

Ist ja interessant. Und wie lautet die Aufgabe im originalem Wortlaut?

Mal angenommen du weißt nicht von vornherein, dass die Menge T mit den gegebenen Verknüpfungen ein Ring ist...
Also dann wären stumpf die Axiome nachzurechnen.
Aber das sagst du ja mehr oder weniger schon selber.
Es ist also nicht ganz klar, was nun wirklich dein Problem ist.

19.02.2017, 10:21

Shalec

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Also dein $\begin{eqnarray*} T:=\{a+2b\cdot\sqrt{-2}\ \mid\ a,b\in\mathbb Z\}\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

Warum?

Damit kannst du die Addition und Multiplikation von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ (natürlich auf $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ eingeschränkt) theoretisch als zu zeigen betrachten. (Wie es auch in deiner Aufgabe gefordert wird) Dazu sollte dein aller erster Schritt sein: Sind die Addition und Multiplikation auch wirklich wohldefiniert? (D.h. $\begin{eqnarray*} \forall x,y\in T: x+y, x\cdot y\in T \end{eqnarray*}$ ?)

Danach kannst du die Axiome abarbeiten, oder geschickt die Struktur der Menge verwenden, um dir ein wenig Arbeit abzukürzen. (Gerade bei der additiven abelschen Gruppeneigenschaft lässt sich viel ableiten.)

@Hdd sry, dass ich mich so einmische smile

Viele WiMi's, die die Übungszettel erstellen (und auch ihre Profs) achten nicht auf eine 100% saubere Formulierung. Es ist dem Ersteller wohl klar, dass T ein Ring ist, aber der Studi soll eben dies zeigen. Entweder, wenn es der erste Kontakt mit einer Ringstruktur ist, um die Axiome besser zu verstehen, oder um die Betrachtungsweise etwas komplexer werden zu lassen und gegebene Strukturen, anstelle der reinen Axiomatik, zur Beweisführung zu nutzen. (Vielmehr ist der letzte Satz dem TE gewidmet smile

)

19.02.2017, 12:28

razzbs

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Ah ok. Jetzt habe ich es vermutlich verstanden. Nächstes Mal einfach mal die Definition des gegebenen Rings intensiver betrachten. Wurzel aus 2 / - 2 ist immer eine Fließkommazahl, daher ist T eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

Und anschließend unter Bedingung von T zeigen, dass die Struktur $\begin{eqnarray*} (C; +; *) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist.

Vielen Dank euch! smile

Gruß

Chris

@Shalec: Die Aufgabe stammt aus einer Klausur vom letzten Jahr Augenzwinkern

@Hdd: Das war der genaue Wortlaut der Aufgabe.

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