Charakteristische Funktion + Erwartungswert

19.02.2017, 23:44

hallo123321

Charakteristische Funktion + Erwartungswert

Meine Frage:
Ich habe eine Zufallsvariable X. Für diese soll ich nun allgemein die charakteristische Funktion bestimmen.
Ebenso soll ich mit der charakteristischen Funktion $\begin{eqnarray*} E(X^{k}) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Ideen:
Wäre die allgemeine charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} phi_{mu}(t) = \int_{}^{} \! exp(itx)dmu(x) \, \end{eqnarray*}$ ?
Und wie berechne ich damit $\begin{eqnarray*} E(X^{k}) \end{eqnarray*}$ ?

20.02.2017, 04:52

IfindU

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RE: charakteristische Funktion + Erwartungswert
Schau dir die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in der 0 an.

20.02.2017, 10:27

hallo123321

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Für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} E(X^{k}) \end{eqnarray*}$ ?
Ist die charakteristische Funktion denn richtig?
Wie ist das mit in der Null gemeint? Ableiten und dann 0 einsetzen? Und wie leite ich das Integral ab?

20.02.2017, 10:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von hallo123321
Wäre die allgemeine charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} phi_{mu}(t) = \int_{}^{} \! exp(itx)dmu(x) \, \end{eqnarray*}$ ?

Das ist die charakteristische Funktione eines Maßes $\begin{align*} \mu \end{align*}$ . Bei Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ und deren charakteristischer Funktionen meinen wir an der Stelle dann deren Verteilungsmaß $\begin{align*} P_X \end{align*}$

$\begin{align*} \varphi_X(t) := E\left[ e^{itX} \right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx} ~ \dd P_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx} ~ F_X(\dd t) \end{align*}$ ,

wobei $\begin{align*} F_X \end{align*}$ dann die Verteilungsfunktion von $\begin{align*} X \end{align*}$ ist. Wie man $\begin{align*} \varphi_X \end{align*}$ konkret ausrechnen (also das Integral "wegkriegt"), hängt davon ab, was für eine Zufallsgröße du da hast (diskret, oder stetig, oder ...). Allgemein kann man aber aufgrund der Definition folgern (man beachte, dass die Ableitung bzgl. $\begin{align*} t \end{align*}$ gemeint ist)

$\begin{align*} \varphi_X'(t) = E\left[ \left( e^{itX}\right)' \right] = E\left[ e^{itX}\cdot iX \right] = i\cdot E\left[ X\cdot e^{itX} \right] \end{align*}$ , speziell $\begin{align*} \varphi_X'(0) = i\cdot E[X] \end{align*}$ .

Und so geht das weiter:

$\begin{align*} \varphi_X''(t) = i^2 \cdot E\left[ X^2\cdot e^{itX} \right] = -E\left[ X^2\cdot e^{itX} \right] \end{align*}$ , speziell $\begin{align*} \varphi_X''(0) = -E[X^2] \end{align*}$ , ...

Um welche Zufallsgröße geht es denn bei dir konkret?

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