Endliche Körper

20.02.2017, 21:04

razzbs

Endliche Körper

Hey Leute,

ich benötige mal wieder eure Hilfe verwirrt

...

Ich bin mir bei der Lösung nicht sicher, ob ich das so machen kann und ob das ausreicht.

Die beiden Aufgaben sind folgende:

a. Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome vom Grad n = 2 über dem Körper $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ .
b. Konstruieren Sie einen Körper $\begin{eqnarray*} F_{4} \end{eqnarray*}$ mit vier Elementen und geben Sie dessen Multiplikationstabelle an.

Meine Ideen:

a.

Mit Hilfe von anderen Threads habe ich folgende Lösung. Allerdings bleibt mir dabei die Frage, wie ich auf diese Polynome komme. Was würde sich ändern, wenn ich den gleichen Grad für den Körper $\begin{eqnarray*} Z_{5} \end{eqnarray*}$ betrachten würde?

$\begin{eqnarray*} x^2+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

b.

Ich würde die Multiplikationstabelle für die Restklasse 4 erstellen und schauen, ob ich eventuell Nullteiler bekomme, falls dies der Fall ist -> kann es ja kein Körper sein, weil Körper per Definition keine Nullteiler haben dürfen.

Falls keine Nullteiler vorhanden sind, würde ich prüfen, ob die Bedingungen und die Axiome erfüllt sind.

Ich hoffe ihr könnt mir dabei weiterhelfen smile

Viele Grüße

Chris

20.02.2017, 22:28

Elvis

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Nur das 4. Polynom ist irreduzibel, die anderen haben die Nullstellen 1:0 2:1 3:0 und 1
Mit dem irreduzibel Polynom kann man einen Körper mit 4 Elementen konstruieren.

20.02.2017, 23:21

razzbs

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@Elvis: Vielen Dank für deine Rückmeldung smile

Mir bleibt allerdings die Frage, ob ich noch weitere Polynome bestimmen kann, die irreduzibel unter diesen Bedingungen sind (Grad 2, Körper $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ )?

Und wie kann mit einem Polynom einen Körper konstruieren? Ich hätte keine Idee wie ich da rangehen würde? Würde meine Idee mit Erstellung der Multiplikationstabelle nicht funktionieren?

Viele Grüße

Chris

21.02.2017, 00:18

Mulder

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Zitat:

Original von razzbs
Mir bleibt allerdings die Frage, ob ich noch weitere Polynome bestimmen kann, die irreduzibel unter diesen Bedingungen sind (Grad 2, Körper $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ )?

Mehr als die vier Polynome von Grad 2, die du oben aufgelistet hast, gibt es in Z2 doch gar nicht. Die hast du offenbar irgendwo abgeschrieben, ohne dich da irgendwie inhaltlich mit auseinanderzusetzen. Das bringt natürlich nicht viel.

Ein Polynom von Grad 2 hat die Form

$\begin{eqnarray*} f=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

Nun bist du in Z2. Da liegen nur 0 und 1 drin. Das heißt, a, b und c können nur 0 oder 1 sein. a muss 1 sein, denn wäre a=0, wäre der Grad des Polynoms kleiner 2. Wollen wir nicht. Es verbleibt:

$\begin{eqnarray*} f=x^2+bx+c \end{eqnarray*}$

Da du in Z2 bist, können b und c nur 0 oder 1 sein. Folglich bleiben nur vier Möglichkeiten. Eben die, die du oben aufgelistet hast. Fragen musst du dich nun aber noch, welche davon irreduzibel sind. Hat Elvis eigentlich schon verraten. Du solltest dir aber schon klar machen, warum das so ist. Und das kann man mit reiner Schulmathematik schon klären. Nullstellen <=> Polynomdivision Zusammenhang.

Und für b) betrachte dann halt

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[X]/(X^2+X+1) \mathbb Z_2[X] \end{eqnarray*}$

Aufgabe b) nimmt durchaus Bezug auf Aufgabe a).

21.02.2017, 01:44

razzbs

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@Mulder: Ich habe versucht, es mit Hilfe von vielen anderen Threads zu verstehen, aber bin dabei nicht weitergekommen, deshalb dieser Thread smile

Jetzt habe ich es jedoch verstanden! Vielen Dank dafür. Der Körper den ich in b) konstruieren würde, würde dann aus dem Elementen $\begin{eqnarray*} 0, 1, x und x+1 \end{eqnarray*}$ bestehen oder?

Nochmal eine Verstädnisfrage an dieser Stelle:
Wenn ich ein Polynom von Grad 3 habe, habe ich dann die allgemeine Form:
$\begin{eqnarray*} ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

- bei Grad 4: $\begin{eqnarray*} ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \end{eqnarray*}$ usw ...?

Viele Grüße

Chris

21.02.2017, 08:04

Elvis

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Ja.
Allerdings würde ich eine Nullstelle eines irreduziblen Polynoms, die ich adjungieren möchte, nicht x sondern $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ nennen.

21.02.2017, 11:59

razzbs

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Ok. Alles klar. Vielen Dank euch beiden! smile

Viele Grüße

Chris

21.02.2017, 12:57

Elvis

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Hast du die Additionstabelle und die Multiplikationstabelle hinbekommen ? Hast du dieselbe Übung auch für Körper mit 8, 16, 9, 27, 81 Elementen geschafft ? Wenn Du das alles hier veröffentlichst, hast du verstanden, wie es funktioniert und verhilfst den Unwissenden zum Verständnis.

21.02.2017, 14:07

razzbs

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Die Additions- und Multiplikationstabelle habe ich angehängt. Wie kann ich einen Körper in $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ mit 8, 9, 16 ... Elementen konstruieren? Dafür müsste ich doch den Grad des Polynoms entsprechend erhöhen?

Viele Grüße

Chris

21.02.2017, 14:14

Elvis

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Die Addition ist falsch. 9, 27 und 81 sind Potenzen von 3, nicht von 2.

21.02.2017, 14:53

razzbs

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Jetzt aber Augenzwinkern

(Addition ist angehängt)

Körper mit 8 Elementen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[X]/(X^3+X^2+1) \mathbb Z_2[X] \end{eqnarray*}$
wäre entsprechend mit den Elementen:

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}+x+1 \end{eqnarray*}$

21.02.2017, 18:32

Elvis

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Passt besser. Der volle Überblick über alle endlichen Körper mit höchstens 128 Elementen ist das aber noch nicht. Speziell würden mich alle ihre erzeugenden Polynome, Additions- und Multiplikationstabellen interessieren. Augenzwinkern

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