Integral und Indikatorfunktion

20.02.2017, 21:05

Shalec

Integral und Indikatorfunktion

Hallo allerseits,

habe ich folgenden Schritt korrekt umgesetzt?

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty f(x)\cdot 1_{[0,1]}(x)g(s-x) \cdot 1_{[0,\infty)}(s-x) dx = \int_0^1 f(x) g(s-x)dx \end{eqnarray*}$

(es handelt sich hierbei um eine Faltung von f und g)

Viele Grüße und vielen Dank

PS: Mein Bedenken ist, dass wegen $\begin{eqnarray*} 1_{[0,\infty)}(s-x) \end{eqnarray*}$ bei geeigneter Wahl von s eben auch ein Intervall $\begin{eqnarray*} [0,s] \end{eqnarray*}$ auf 0 abgebildet wird. D.h. dass dann das Integral $\begin{eqnarray*} \int_s^1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ sein könnte, womit dann das Produkt beider Indikatorfunktionen konstant 0 ist.

21.02.2017, 02:34

10001000Nick1

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Zunächst mal gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \! f(x)\cdot 1_{[0,1]}(x)\cdot g(s-x)\cdot 1_{[0,\infty)}(s-x)\, dx = \int_0^1 \! f(x)\cdot g(s-x)\cdot 1_{[0,\infty)}(s-x)\, dx \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} 1_{[0,\infty)}(s-x)=\begin{cases} 1 & , x\leq s \\ 0 & , x>s \end{cases} \end{eqnarray*}$ , und damit

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x)\cdot g(s-x)\cdot 1_{[0,\infty)}(s-x)\, dx = \int_0^{\min(s,1)} \! f(x)\cdot g(s-x) \, dx \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} s\geq 0 \end{eqnarray*}$ ).

21.02.2017, 09:14

Shalec

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Danke

offenbar war ich da schon zu müde und habe das Naheliegendste garnicht betrachtet..
Bildet man das Produkt beider Indikatorfunktionen, so sieht man doch direkt, dass dieses der Indikatorfunktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0, min(1,s)] \end{eqnarray*}$ entspricht.

Also doppelt danke Hammer

21.02.2017, 11:25

HAL 9000

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Das "(für $\begin{align*} s\geq 0 \end{align*}$ )" ist übrigens eine wichtige Ergänzung: Für $\begin{align*} s<0 \end{align*}$ erhalten wir logischerweise Faltungswert 0, während man stur nach Integraldarstellung

$\begin{align*} \int_0^{\min(s,1)} \ldots = \int_0^s \ldots \stackrel{!}{=} -\int_s^0 \ldots \end{align*}$

rechnen würde, mit dann i.a. falschem Endresultat. Big Laugh

21.02.2017, 14:45

Shalec

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Oh, das habe ich sogar fast überlesen. Danke für den Hinweis smile

Also nochmal zum Verständnis, wenn ich
$\begin{eqnarray*} h_{f+g} (s) = \int_0^{min(1,s)} f(x)g(s-x) dx \end{eqnarray*}$ berechne, ist dann dieses $\begin{eqnarray*} h:=h_{f+g} \end{eqnarray*}$ nur auf einem Intervall definiert?

Jetzt muss ich den Thread doch mal in Richtung Stochastik schieben.
Angenommen ich erhalte als Ergebnis eine Exponentialfunktion mit $\begin{eqnarray*} m=min(1,s) \end{eqnarray*}$ , d.h.
$\begin{eqnarray*} h(s)=e^{-2(m+s)} \end{eqnarray*}$ und ich will überprüfen, ob h eine Dichtefunktion ist, dann berechne ich doch
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}h(x) dx=\frac{-1}{2}\left[ e^{-2(m+x)} \right]_{-\infty}^{\infty}\overset{!}{=}1 \end{eqnarray*}$

Anhand des Hinweises " $\begin{eqnarray*} s\geq 0 \end{eqnarray*}$ " darf ich hier nicht bis $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ integrieren. Es muss also

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2}\left[ e^{-2(m+x)} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} e^{-2m}\overset{!}{=}1 \end{eqnarray*}$ sein, richtig? Hier sehe ich das Problem für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ ist offenbar nicht korrekt. Also müsste ich m bestimmen. Damit würde aber $\begin{eqnarray*} m=\frac{ln(2)}{-2}<0\leq s \end{eqnarray*}$

Danke

21.02.2017, 15:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec
Angenommen ich erhalte als Ergebnis eine Exponentialfunktion mit $\begin{eqnarray*} m=min(1,s) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} {\color{red}h(s)=e^{-2(m+s)}} \end{eqnarray*}$

Hier fühle ich mich ein wenig überfahren ob deines Tempos: Wie ist dieses $\begin{align*} h \end{align*}$ zustandegekommen? D.h., als Faltung von welchen Ausgangsverteilungen? verwirrt

21.02.2017, 17:02

Shalec

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Das Problem hat sich behoben..ich habe alles nochmal langsam nachgerechnet und auf Feinheiten geachtet. Zum Schluss lief es darauf hinaus, dass ich eine Klammer nicht gesetzt hatte.

Danke für den Beistand smile

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