LR-Zerlegung

22.02.2017, 08:44

KeinPlan89

LR-Zerlegung

Meine Frage:
Wann hat eine Matrix A eine Zerlegung der Form A = RR^T.
Dabei bezeichnet R eine obere Dreiecksmatrix

Meine Ideen:
Ich habe zwei Beispiele gerechnet und würde vermuten, dass dies bei symmetrischen Matrizen auftritt. Kann dies stimmen?

22.02.2017, 10:02

HAL 9000

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Wenn $\begin{align*} R \end{align*}$ reell sein soll, reicht das nicht: $\begin{align*} A \end{align*}$ muss zudem auch positiv semidefinit sein.

Deine Überschrift "LR-Zerlegung" passt nicht ganz, es handelt sich hier vielmehr um die sogenannte Cholesky-Zerlegung.

22.02.2017, 10:07

Scotty1701D

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Für jede beliebige Matrix gilt:
$\begin{eqnarray*} (R\cdot R^T)^T=(R^T)^T\cdot R^T = R\cdot R^T \end{eqnarray*}$
Also ist RR^T auf jeden Fall symmetrisch. Damit R eine ODM ist, brauchst du aber noch Bedingungen für die Koeffizienten.

Edit: Da war HAL9000 schneller und genauer.
Ist der Wikipedia-Artikel da nicht etwas ungenau?
Zur Zerlegung A = LDL^T muss A doch nur positiv semidefinit sein. Die Matrix D hat dann ggfs. Einträge =0, oder?

22.02.2017, 10:28

KeinPlan89

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ich habe es immer noch nicht verstanden... welche Eigenschaften muss man nun genau an A stellen?
Sie muss semi-definit und symmertrisch sein, dass A = RR^T gilt?
Ich habe gedacht, dass eine symmetrische positive Matrix A = LL^T gilt?!

22.02.2017, 10:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Scotty1701D
Zur Zerlegung A = LDL^T muss A doch nur positiv semidefinit sein. Die Matrix D hat dann ggfs. Einträge =0, oder?

Sehe ich auch so, deswegen habe ich ja auch nur "positiv semidefinit" geschrieben statt des "positiv definit" im Wikipedia-Artikel.

@KeinPlan89

Ich sehe jetzt nicht den substanziellen Unterschied zwischen der Konstruktion von $\begin{align*} L \end{align*}$ für $\begin{align*} A=LL^T \end{align*}$ und $\begin{align*} R \end{align*}$ für $\begin{align*} A=RR^T \end{align*}$ :

Nur dass man sich bei der Berechnung von $\begin{align*} L \end{align*}$ von links oben nach rechts unten vorarbeitet, und bei der Berechnung von $\begin{align*} R \end{align*}$ umgekehrt von rechts unten nach links oben. D.h., man kann $\begin{align*} A \end{align*}$ zeilen- und spaltenweise spiegeln, davon dann die $\begin{align*} LL^T \end{align*}$ -Zerlegung bestimmen, und dann auch dieses $\begin{align*} L \end{align*}$ zeilen- und spaltenweise spiegeln und erhält das gewünschte $\begin{align*} R \end{align*}$ . smile

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