Orthonormalbasis ergänzen zu R^4

22.02.2017, 23:45

Freezii

Orthonormalbasis ergänzen zu R^4

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich bräuchte ganz dringend Hilfe, diese Aufgabe hier kam in meiner jetzigen Klausur vor.

Ergänze v1= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und v2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu einer Orthonormalbasis in $\begin{eqnarray*} R^{4} \end{eqnarray*}$ (bezüglich des Skalarproduktes.

Ich habe zwar verstanden, das ich die beiden Vektoren noch mit zwei weitern ergänzen soll, und daraus eine Orthonormalbasis bilden soll. Dies erfolgt ja mit dem Gram-Schmidtverfahren. Mein Problem ist leider das mir irgendwie der Ansatz fehlt, welche Vektoren ich nehmen kann um die gegebenen zu ergänzen.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen !

Meine Ideen:
Ich habe bereits ausprobiert, die einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu nehmen, leider kamen da bei mir irgendwie komische Werte raus.

23.02.2017, 08:22

klarsoweit

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RE: Orthonormalbasis ergänzen zu R^4

Zitat:

Original von Freezii
Ich habe zwar verstanden, das ich die beiden Vektoren noch mit zwei weitern ergänzen soll, und daraus eine Orthonormalbasis bilden soll.

Die zwei zusätzlichen Vektoren müssen mit erst mal mit den vorgegebenen Vektoren eine Basis bilden. Wie man aber schnell sieht, bilden die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ keine Basis. Augenzwinkern

23.02.2017, 08:22

Elvis

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Ein Algorithmus ist kein Probierverfahren sondern eine wohldefinierte Vorgehensweise zur Berechnung. Wende Gram-Schmidt an und berechne die ONB.

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