Auflösbarkeit einer Gruppe mit Kommutatorgruppe zeigen

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösbarkeit einer Gruppe mit Kommutatorgruppe zeigen
Hallo zusammen.
Ich möchte zeigen, dass folgende Gruppe auflösbar ist: Und zwar betrachte ich die Dreiecksgruppe (oder von-Dyck-Gruppe) mit der Präsentation

.

Ich habe nun an mehreren Stellen bereits gelesen, dass die Kommutatoruntergruppe gerade sein soll und damit wäre die Auflösbarkeit ja schon bewiesen, da die Kommutatorgruppe von schließlich trivial ist. Leider weiß ich aber nicht, wie ich das zeigen kann, da ich auch gar nicht sehe, wie ich mit den Kommutatoren identifizieren soll. Ich habe beispielsweise berechnet (unter Ausnuztung der Relationen und, dass ):

,



.

Dabei ist
Ich weiß allerdings gar nicht, wie genau die Erzeuger der Kommutatorgruppe aussehen. Ich hatte mir nur gedacht, dass es vielleicht reicht, die Kommutatoren aller Erzeuger zu betrachten und diese Kommutatoren dann die Kommutatorgruppe erzeugen. Stimmt das? Vielleicht hat von euch ja jemand einen Tipp, beispielsweise, wie ich einen Isomorphhismus definieren kann? Vielen Dank schonmal! smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auflösbarkeit einer Gruppe mit Kommutatorgruppe zeigen
Ich bin kein Gruppentheoretiker, aber sollte es nicht ausreichen zu zeigen, dass die Kommutatorgruppe abelsch ist? Damit bekommt man zwar nicht die Isomorphie (wenigstens nicht sofort), aber Auflösbarkeit sollte daraus folgen.
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Hi IfindU,

ja, das würde natürlich ausreichen, da ich dann eine endliche Reihe iterierter Kommutatorgruppen habe. Habe mich bloß so an dieser -Geschichte festgebissen, dass ich das total ausgeblendet habe. Ich versuche mich mal daran, das zu zeigen. Mal schauen, ob das von Erfolg gekrönt ist.
Vielen Dank auf jeden Fall schonmal für den Stups. smile Falls ich hänge, werde ich bestimmt nochmal Laut geben.

Edit: Puh, also das ist irgendwie eine ziemliche Arbeit. Also ich habe jetzt nach einiger Zeit gerade mal gezeigt, dass die Kommutatoren und kommutieren. Dazu habe ich die Identitäten benutzt und schließlich erhalten


sowie
,

also hier passt es. Das mag zwar eine triviale Frage sein, aber reicht es, wenn ich die Kommutativität an den Kommutatoren überprüfe, also an den Kommutatoren, deren Einträge gerade die erzeuger der ursprünglichen Gruppe sind? Und falls ja, wieso? Irgendwie hab ich gerade eine ziemliche Blockade... :-/
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht, wenn die Erzeuger kommutieren. Damit hast du nach Definition maximal 6 Stück. Mit dem Hintergrundwissen zur Isomorphie zu weisst du, dass es 2 gibt (oder 4, wenn man Inverse mitzählt). Nun kommutieren genau dann wenn kommutieren.
Es wird vermutlich einfacher wirklich 2 Erzeuger zu finden, die anderen dadurch darzustellen und dann zu zeigen, dass die beiden kommutieren.

Habe gerade etwas rumgerechnet, aber bin leider auf nichts schönes gekommen.
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal kurz.
Ja, es reicht aus, wenn die Erzeuger kommutieren. Ich habe jetzt nach einiger Rumrechnerei gezeigt, dass die Kommutatoren und sowie die Inversen paarweise kommutieren. Ich weiß nur leider nicht genau, ob diese Elemente nun die Kommutatorgruppe erzeugen und allgemein nicht, wie die Erzeuger der Kommutatorgruppe aussehen. Das bezieht sich gar nicht unbedingt auf dieses Beispiel, sondern ist eine allgemeinere Frage:

Ist eine Gruppe endlich erzeugt von , wird dann die Kommutatorgruppe von den Kommutatoren erzeugt? ( liefert natürlich nichts Spannendes)
Du meintest ja, dass es "nach Definition" maximal sechs Erzeuger gibt und das ist gerade (wenn man die Inversen mitzählt) die Anzahl der Kommutatoren, die ich mit den drei Erzeugern bilden kann. Oder ist deine Aussage anders zu deuten?
Leider bin ich selbst kein Spezialist in Gruppentheorie, das ist bei dem Thema was ich bearbeite, nur an einer einzigen Stelle relevant.

Vielleicht hat ja auch ein Gruppenspezialist noch einen Tipp. Ich brauch jetzt mal eine kurze Denkpause. Vor lauter Wörtern, die aus und bestehen, flimmern meine Augen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich war da etwas zu voreilig. Ich würde vermuten, dass sich tatsächlich jeder Kommutator als Produkt dieser Kommutatoren darstellen lässt, aber das ist mehr geraten -- insb. wüsste ich nicht wie man es zeigen kann.

Zeit, dass jemand hier einen abstrakten Hammer holt Big Laugh
 
 
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mittlerweile über das Buch "Noneuclidean Tesselations and their Groups" von Wilhelm Magnus gestoßen, indem die Gruppe als Normalteiler der Gruppe betrachtet wird. In letztgenannter führt man dann eine weitere Relation ein, um eine Surjektion auf die zyklische Gruppe der Ordnung 6 zu bekommen. Dann betrachtet man den Kern dieser Abbildung, welchen man dann nach Ausnutzen aller Relationen und unter Zuhilfenahme der Artin-Schreier-Methode schreiben kann als

,

also in der Tat isomorph ist zu und wäre dann auflösbar als Untergruppe einer auflösbaren Gruppe.

Scheint also wirklich nicht allzu trivial zu sein, aber immerhin habe ich da etwas gefunden, was ich halbwegs nachvollziehen kann. Vielen Dank auf jeden Fall für deine schnelle Hilfe. smile

edit: Ich meinte natürlich Reidemeister-Schreier. Bei Artin-Schreier sind wir wieder woanders. Big Laugh
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Gut gemacht Freude
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