Berechnung des Index der Gleichungsordnung in der Maximalordnung

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Index der Gleichungsordnung in der Maximalordnung
Hallo,

da meine google-suchen nicht sehr vielversprechend verlaufen, brauche ich ein wenig Hilfe. Wenn ich einen Zahlkörper habe, mit dem Minimalpolynom von vom Grad n. Wie berechne ich dann ?

Meine Schwierigkeiten sind zunächst sehr elementarer Natur:
1) Betrachte ich diese beiden Ringe als Gruppen und definiere darüber den Index? (D.h. wie ist dieser Index überhaupt definiert? Trägt er einen besonderen Namen?)

2) Wie lässt sich dieser Index berechnen?
Ich habe den Hinweis (mündlich) bekommen, dass man eine Basis von dafür nutzt. Wie genau sowas zu berechnen ist, war aber nicht mehr ganz im Wissen vorhanden. smile

Vielen Dank für die Hilfe. Mir genügt auch ein Verweis auf die Literatur, wo ich das nachlesen kann. Im Buch von Cohen (A Course in Computational Algebraic Number Theory) habe ich dazu im Kapitel 3 und 4 nichts gefunden. (Ich habe die Seiten überflogen und nach einer ähnlichen Schreibweise gesucht, soll heißen: Ich schließe nicht aus, dass es dort doch steht und ich nur zu blind war smile )
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stichworte: Modul, Basis eines Moduls, Modulrang, Ganzheitsbasis. (Viel konstruktives ist da bei mir aber auch nicht zu holen.)
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Stichworte: Modul, Basis eines Moduls, Modulrang, Ganzheitsbasis. (Viel konstruktives ist da bei mir aber auch nicht zu holen.)


Das hilft schonmal ein wenig weiter smile Danke


Kann ich als Modul ansehen? Vermittelt dann dieser Index über den Rang als solches Modul?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau anders herum. Es ist , und wegen sind und zwei -Module und ist ein -Modul . Gesucht ist der Modulrang , und das ist vielleicht gleich (vielleicht, aber da bin ich mir nicht ganz sicher). Der Körper ist eine quadratische Erweiterung von , wenn kein Quadrat in ist .
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Genau anders herum. Es ist , und wegen sind und zwei -Module und ist ein -Modul . Gesucht ist der Modulrang , und das ist vielleicht gleich (vielleicht, aber da bin ich mir nicht ganz sicher). Der Körper ist eine quadratische Erweiterung von , wenn kein Quadrat in ist .


Oh. Danke smile Ich werde mich in den nächsten Tagen (vermutlich morgen) nochmal dem Beweis widmen und dann bestimmt durch deine Hilfe zu einem Ergebnis kommen.

Viele Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass der Höchstrang, also der Modulrang einer Maximalordnung, gleich dem Körpergrad ist ???
Habe ich wohl mal wieder richtig geraten oder auf halb verschüttete Erinnerung zurückgegriffen. Siehe hier home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws11/azt/wendt-azt11.pdf Satz 3.2
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich wusste davon noch nichts smile
Nun habe ich aber eine weitere Quelle, um solche Grundlagen aufzuarbeiten.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Shalec,

eine Ordnung in einem Zahlkörper ist definitionsgemäß ein Teilring von (oft auch als bezeichnet), welcher eine -Basis der Länge besitzt.

Eine Maximalordnung ist eine bezüglich der gewöhnlichen Inklusion von Mengen maximale Ordnung, und hier ist das immer . Betreibt man nicht-kommutative Zahlentheorie in Divisionsalgebren, so ist dies nicht mehr allgemein richtig, es muss keine eindeutige Maximalordnung mehr geben.

Man erhält eine Ordnung stets als mit , im Gegensatz zur Körpererweiterung kann man jedoch nicht stets annehmen.

Zur eigentlichen Frage: Alle Ordnungen sind bezüglich der Addition abelsche Gruppen. ist einfach als Index von Gruppen (Anzahl der Nebenklassen) zu lesen und zu berechnen.

Dies ist nicht unbedingt einfach, aber die Formel , wo die Diskriminante bezeichnet, kann hilfreich sein.
Die Diskriminante bestimmt man mit -Basen der Ordnungen. Eine -Basis von , wie du schreibst, gibt es eventuell gar nicht.

Damit ist hoffentlich etwas Licht ins Dunkel gebracht.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink
Zitat:
Original von jester.
Damit ist hoffentlich etwas Licht ins Dunkel gebracht.


auf jeden Fall smile
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