Skalarprodukt

27.02.2017, 17:19	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt Hallo, ich muss überprüfen , ob die Abbildung ein Skalarprodukt ist : $\begin{eqnarray} V = \{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R } stetig\}, <f,g>=\int_{0}^1 f(x)g(x)\,dx \end{eqnarray}$ Also ich muss zeigen, dass der Skalarprodukt reelle Zahl ist, endlich ist und die drei Eigenschaften erfüllt: Positivität, Symmetrie und Bilinearität. Aber wie geht man da richtig vor? Liebe Grüsse Dawid
27.02.2017, 17:42	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen sind riemann-integrierbar. Das beantwortet die Frage nach der Existenz/Endlichkeit des Integrals. Zu den anderen Eigenschaften: Schreib dir erstmal auf, was genau zu zeigen ist. Für die Bilinearität ist z.B. zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle f+g, h\rangle =\langle f, h\rangle+\langle g, h\rangle \end{eqnarray}$ (für alle $\begin{eqnarray} f,g,h\in V \end{eqnarray}$ ). Wenn man die Definition des Skalarprodukts einsetzt, bedeutet das: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! (f+g)(x) h(x)\, dx = \int_0^1 \! f(x) h(x)\, dx+\int_0^1 \! g(x) h(x)\, dx \end{eqnarray}$ Eine Idee, wie man das zeigen kann?
27.02.2017, 18:28	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^1 \! (f+g)(x) h(x)\, dx =\int_0^1 \! f(x) h(x)+g(x) h(x)\, dx= \int_0^1 \! f(x) h(x)\, dx+\int_0^1 \! g(x) h(x)\, dx \end{eqnarray}$ Positivität : $\begin{eqnarray} <f,f> \ge 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <f,f> = 0 \Leftrightarrow f = 0 \end{eqnarray}$ Symmetrie: $\begin{eqnarray} <f,g> = <g,f> \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! f(x) g(x)\, dx = \int_0^1 \! g(x) f(x)\, dx \end{eqnarray}$
27.02.2017, 18:33	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, damit hast du eine Eigenschaft für die Bilinearität gezeigt. Aber es gibt ja noch ein paar andere, die du nachrechnen musst. Der Nachweis der Symmetrie ist auch richtig.
27.02.2017, 18:51	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals Positivität : $\begin{eqnarray} <f,f> = \int_0^1 \! f(x) f(x)\, dx \ge 0 \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} f(x)^2 \ge \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ wäre das jetzt richtig ? Und was muss ich noch zeigen? Ich hätte schon Existenz, Endlichkeit, Positivität, Symmetrie und Bilinearität.
27.02.2017, 18:57	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt soweit (da fehlt nur noch eine 0 nach $\begin{eqnarray} f(x)^2 \geq \end{eqnarray}$ ). Außerdem musst du noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle f,f\rangle =0 \Leftrightarrow f=0 \end{eqnarray}$ . Un wie gesagt, fehlt bei der Bilinearität noch etwas: Zu zeigen ist noch $\begin{eqnarray} \langle \lambda f, g\rangle =\lambda \langle f,g\rangle \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb R, f,g\in V \end{eqnarray}$ . Und das gleiche dann auch für das zweite Argument, d.h. $\begin{eqnarray} \langle f, g+h\rangle =\langle f,g\rangle+\langle f,h\rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle f, \lambda g\rangle=\lambda\langle f,g\rangle \end{eqnarray}$ .
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28.02.2017, 09:39	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \langle \lambda f, g\rangle = \int_0^1 \! \lambda f(x) g(x)\, dx = \lambda \int_0^1 \! f(x) g(x)\, dx=\lambda \langle f,g\rangle \end{eqnarray}$ Für das zweite Argument gilt wegen Symmetrie das gleiche oder ?
28.02.2017, 11:31	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »

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