Flächeninhalt durch mehrdim. Int.

27.02.2017, 18:42

leodavinci

Flächeninhalt durch mehrdim. Int.

Meine Frage:
Ich habe eine Verständnisfrage:
Wir haben in der Vorlesung zwei Möglichkeiten kennen gelernt einen Flächeninhalt zu berechnen.
1.
$\begin{eqnarray*} vol(D)=\int_{D}^{} \! 1 \, d(x,y) \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} O(F)=\int_{F}^{} \! \, do := \int_{D}^{} \! \|\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial u_1}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial u_2} \end{pmatrix} \| \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Was ist dabei der Unterschied? Kann es sein, dass ich das obere nur im zweidimensionalen Raum benutzen kann?

27.02.2017, 18:48

10001000Nick1

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RE: Flächeninhalt durch mehrdim. Int.

Zitat:

Original von leodavinci
Kann es sein, dass ich das obere nur im zweidimensionalen Raum benutzen kann?

Ja, genau. Das obere ist der Flächeninhalt einer Menge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , das untere ist der Flächeninhalt einer Fläche $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p: D\to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eine Parametrisierung von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist ( $\begin{eqnarray*} D\subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ).

27.02.2017, 20:02

leodavinci

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RE: Flächeninhalt durch mehrdim. Int.
Dann gibt es aber ja auch noch die Oberflächenintegrale:

$\begin{eqnarray*} \int_{F}^{} \! f \, do = \int_{D}^{} \! f(p(u)) \|(\frac{\partial p}{\partial u_1}) \times (\frac{\partial p}{\partial u_2}) \| \, d(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int_{F}^{} \! <f,n> \, do = \int_{D}^{} \! <f(p(u)),n(p(u))> \|(\frac{\partial p}{\partial u_1}) \times (\frac{\partial p}{\partial u_2}) \| \, d(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$

Was kann ich mit denen ausrechnen, wenn die vorherigen Formel die Flächen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ berechnen?

27.02.2017, 21:22

10001000Nick1

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Da integrierst du eine Funktion über die Fläche $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

(Das hat nichts mehr mit dem Oberflächeninhalt zu tun; den kriegt man nur mit dem Spezialfall eines Oberflächenintegrals 1. Art mit $\begin{eqnarray*} f\equiv 1 \end{eqnarray*}$ ).

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