Magisches Quadrat - Rätsel

28.02.2017, 07:58

HAKler

Magisches Quadrat - Rätsel

Meine Frage:
..................A.-.B.-.C
..................|..........|
D.-.E.-.F.-.G........H
......|..........|..........|
.....i...........J - K - L - M
......|..........|
....N.-.O.-.P

--> Besser im Anhang (Bild) zu sehen)

Die Zahlen 1 - 16 sollen so platziert werden, dass die Summe in jeder zusammenhängenden Reihe(z.B. D-E-F-G) und die Summe in jeder zusammenhängenden Spalte(z.B. C-H-L) 29 ergibt. Jede Zahl darf nur ein Mal vorkommen. Für die Lösung muss man wissen, dass D kleiner F und K größer M und B größer C ist. (Bild sihe Anhang)
Außerdem ist bekannt das N = 16, E = 4

Meine Ideen:
I) muss somit 9 sein.
G) glaub ich ist 11 oder 12, kann aber nicht sagen warum genau
J) glaub ich das 8 ist, aber auch da eher nur gefühl

28.02.2017, 09:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAKler
Für die Lösung muss man wissen, dass D kleiner F und K größer M und B größer C ist. Außerdem ist bekannt das N = 16, E = 4.

Mit anderen Worten: Es sind nur Lösungen gesucht, die diese Vorgaben erfüllen.

Aus der Bedingungen, dass in den vier Zeilen sowie drei Spalten jeweils Summe 29 herauskommen soll, lassen sich 7 Gleichungen aufstellen. Setzt man die von dir schon genannten $\begin{align*} N=16,E=4,I=9 \end{align*}$ ein, so bleiben noch 6 Gleichungen für die 13 Variablen $\begin{align*} A,B,C,D,F,G,H,J,K,L,M,O,P \end{align*}$ unter der zusätzlichen Maßgabe, dass jede der Zahlen $\begin{align*} 1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15 \end{align*}$ genau einmal im Lösungstupel auftaucht.

Ein brachialer Lösungsansatz wäre es, alle $\begin{align*} 13!\approx 6.2\cdot 10^9 \end{align*}$ Permutationen durchzutesten, was in annehmbarer Zeit durchführbar wäre.

Durch geschickten Einbau der einen oder anderen Gleichungsbedingung in den Algorithmus der Generierung der Permutationen kann man die Rechenzeit sicher auch noch drastisch verkürzen. Augenzwinkern

EDIT: Mit nicht ganz so brachialem Brute-Force (nämlich die wenigen Lösungen der Gleichung O+P=13 nutzend dann "nur" noch $\begin{align*} 10\cdot 11! \end{align*}$ Varianten checkend) läuft die entsprechende Suche auf meinem PC acht Sekunden und erbringt neun Lösungstupel, die alle deine Bedingungen erfüllen. Augenzwinkern

28.02.2017, 15:06

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
... und erbringt neun Lösungstupel, die alle deine Bedingungen erfüllen. Augenzwinkern

Ich kann das bestätigen. Und ohne die Bedingungen $\begin{align*} D<F, \ K>M, \ B>C \end{align*}$ gibt es 96 Lösungen.

01.03.2017, 10:14

HAL 9000

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Zumindest eine weitere Zahl lässt sich auch ohne Bruteforce noch ermitteln: Es ist

$\begin{align*} (A+B+C)+(D+E+F+G)+(J+K+L+M)+(N+O+P)=4\cdot 29 = 116 \end{align*}$ .

Andererseits ist die Summe aller 16 Zahlen gleich $\begin{align*} \frac{16\cdot 17}{2} = 136 \end{align*}$ , daher ist per Differenzbetrachtung $\begin{align*} H+I=136-116=20 \end{align*}$ , was wegen $\begin{align*} I=9 \end{align*}$ dann $\begin{align*} H=11 \end{align*}$ bedeutet. Augenzwinkern

[attach]44010[/attach]

01.03.2017, 10:35

HAKler

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Danke für eure Hilfe.

Konnte jetzt schon auf eine Lösung kommen.

nochmals Danke. smile

01.03.2017, 10:51

HAL 9000

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Die 9 Lösungstupel sind

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

A= 2,B=14,C=13,D= 3,E= 4,F=10,G=12,H=11,I= 9,J= 8,K=15,L= 5,M= 1,N=16,O= 6,P= 7 
A= 2,B=14,C=13,D= 3,E= 4,F=15,G= 7,H=11,I= 9,J= 8,K=10,L= 5,M= 6,N=16,O= 1,P=12 
A=10,B=14,C= 5,D= 2,E= 4,F= 8,G=15,H=11,I= 9,J= 3,K= 7,L=13,M= 6,N=16,O=12,P= 1 
A=12,B=14,C= 3,D= 2,E= 4,F=13,G=10,H=11,I= 9,J= 1,K= 8,L=15,M= 5,N=16,O= 7,P= 6 
A=12,B=14,C= 3,D=10,E= 4,F=13,G= 2,H=11,I= 9,J= 7,K= 6,L=15,M= 1,N=16,O= 5,P= 8 
A=12,B=14,C= 3,D=10,E= 4,F=13,G= 2,H=11,I= 9,J= 8,K= 5,L=15,M= 1,N=16,O= 6,P= 7 
A=13,B=10,C= 6,D= 3,E= 4,F=15,G= 7,H=11,I= 9,J= 1,K=14,L=12,M= 2,N=16,O= 5,P= 8 
A=14,B=10,C= 5,D= 2,E= 4,F=15,G= 8,H=11,I= 9,J= 1,K=12,L=13,M= 3,N=16,O= 7,P= 6 
A=14,B=10,C= 5,D= 2,E= 4,F=15,G= 8,H=11,I= 9,J= 6,K= 7,L=13,M= 3,N=16,O=12,P= 1

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