Integrationsgrenzen einer Funktion in Polarkoordinaten

28.02.2017, 12:00	davidoff	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsgrenzen einer Funktion in Polarkoordinaten Meine Frage: Hallo zusammen, habe folgende Aufgabe aus der Vorlesung vorliegen: Ich muss das MTM bei der Drehung des Körpers um die z-Achse berechnen. r=2 Z=2 z(r)=1/r [attach]44004[/attach] mein Problem ist hier die Bestimmung der Grenzen. Meine Ideen: Klar ist mir das man hier ein 3-fach Integral benutzt $\begin{eqnarray} V=\int_{0}^{2pi}\int_{a}^{b}\int_{a}^{b} \! zr \, dzdrdphi \end{eqnarray}$
28.02.2017, 16:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{align} z(r)=\frac{1}{r} \end{align}$ die Begrenzungskurve ist, und das ganze bis zu $\begin{align} r=2 \end{align}$ betrachtet werden soll, dann ist die untere $\begin{align} z \end{align}$ -Grenze gleich $\begin{align} z(2)=\frac{1}{2} \end{align}$ . Das Volumen bei Rotation um die $\begin{align} z \end{align}$ -Achse ist aber dann $\begin{align} V = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 \int\limits_0^{\frac{1}{z}} r ~ \dd r ~ \dd z ~ \dd\varphi\qquad () \end{align}$ , denn es gilt umgestellt $\begin{align} r=r(z)=\frac{1}{z} \end{align}$ für die Begrenzungskurve. Du hast dich allerdings nicht gerade sehr deutlich geäußert, was alles zu deinem Körper gehören soll - womöglich geht er ja auch bis zu $\begin{align} z=0 \end{align}$ hinab, nur dann eben bei $\begin{align} r=2 \end{align}$ "gedeckelt" ? Dann käme noch ein "Sockelzylinder" beim Volumen unten dran. Das zu () zugehörige Massenträgheitsmoment (ich nehme an, das hast du Abkürzungswütiger mit "MTM" gemeint ) wäre dann bei homogener Massenverteilung $\begin{align} J = \rho \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 \int\limits_0^{\frac{1}{z}} r^3 ~ \dd r ~ \dd z ~ \dd\varphi \end{align}$ .

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